Exercices types : $$2$$^ème partie - Exercice 2

Nous savons que $$IJKL$$ est un parallèlogramme ce qui nous permet d'écrire $$\red{\overrightarrow{IJ}}=\overrightarrow{LK}$$ .
Nous savons également que le point $$U$$ est l'image du point $$J$$ par la translation de vecteur $$\overrightarrow{IJ}$$ . Cela signifie que $$\red{\overrightarrow{IJ}}=\blue{\overrightarrow{JU}}$$
Il en résulte donc que $$\blue{\overrightarrow{LK}}=\blue{\overrightarrow{JU}}$$ . Cette égalité permet de démontrer que le quadrilatère $$LJUK$$ est un parallèlogramme.
Le fait que le quadrilatère $$LJUK$$ est un parallèlogramme alors nous pouvons conclure que : $$\overrightarrow{LJ}=\overrightarrow{KU}$$

Le point $$L$$ soit le milieu de $$[IA]$$ cela signifie que $$\red{\overrightarrow{IL}} =\blue{\overrightarrow{LA}}$$ .
Nous savons également que $$IJKL$$ est un parallélogramme ce qui nous permet d'écrire $$\red{\overrightarrow{IL}}=\blue{\overrightarrow{JK}}$$ .
Il en résulte donc que : $$\blue{\overrightarrow{LA}}=\blue{\overrightarrow{JK}}$$ . Cette égalité vectorielle permet de démontrer que le quadrilatère $$LAKJ$$ est un parallélogramme .

Nous avons démontré que $$\red{\overrightarrow{LJ}}=\blue{\overrightarrow{KU}}$$ d'après la question $$2$$.
D'après la question $$3$$, le quadrilatère $$LAKJ$$ est un parallélogramme ce qui signifie que $$\blue{\overrightarrow{AK}}=\red{\overrightarrow{LJ}}$$ .
Cela nous permet donc d'écrire que $$\blue{\overrightarrow{AK}}=\blue{\overrightarrow{KU}}$$ . Il en résulte donc que le point $$K$$ est bien le segment $$[AU]$$ .

D'après la question $$4$$, le point $$K$$ est le milieu du segment $$[AU]$$ .
De plus, parmi les hypothèses, le point $$K$$ est le milieu du segment $$[IB]$$ .
Les segments $$[IB]$$ et $$[AU]$$ sont les diagonales du quadrilatère $$IUBA$$.
$$IUBA$$ est un quadrilatère $$\red{\text{dont les diagonales se coupent en leurs milieux}}$$.
Il en résulte donc que le quadrilatère $$IUBA$$ est un parallélogramme.