Vecteurs du plan : première Partie

Exercices types : 11ère partie - Exercice 2

20 min
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Question 1
Exprimer les vecteurs suivants à l’aide d’un seul vecteur.

AB→+HI→=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{HI}=

Correction
    Opposé d'un vecteur.
  • L'opposé du vecteur AB→\overrightarrow{AB} est le vecteur BA→\overrightarrow{BA}. Nous avons alors : AB→=−BA→\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA}
D'après le graphique, on vérifie que HI→=BA→\overrightarrow{HI}=\overrightarrow{BA}
Ainsi :
AB→+HI→=AB→+BA→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{HI}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}
AB→+HI→=AB→−AB→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{HI}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AB}
AB→+HI→=0→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{HI}=\overrightarrow{0}
Question 2

FL→+BC→=\overrightarrow{FL}+\overrightarrow{BC}=

Correction
On remarque que BC→=LK→\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{LK}
    La relation de Chasles.
  • Quels que soient les points AA, BB et CC on a : AB→+BC→=AC→\overrightarrow{A\mathbf{B}}+\overrightarrow{\mathbf{B}C}=\overrightarrow{AC}
Ainsi :
FL→+BC→=FL→+LK→\overrightarrow{FL}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{F\mathbf{L}}+\overrightarrow{\mathbf{L}K}
FL→+BC→=FK→\overrightarrow{FL}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{FK}
Question 3

JH→−AI→=\overrightarrow{JH}-\overrightarrow{AI}=

Correction
JH→−AI→=JH→+IA→\overrightarrow{JH}-\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{JH}+\overrightarrow{IA}.
Or , d'après le graphique : IA→=HB→\overrightarrow{IA}=\overrightarrow{HB}.
Soit :
JH→−AI→=JH→+HB→\overrightarrow{JH}-\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{J\mathbf{H}}+\overrightarrow{\mathbf{H}B}
JH→−AI→=JB→\overrightarrow{JH}-\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{JB}
Question 4

FJ→+BC→−KH→=\overrightarrow{FJ}+\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{KH}=

Correction
FJ→+BC→−KH→=FJ→+BC→+HK→\overrightarrow{FJ}+\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{KH}=\overrightarrow{FJ}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{HK}.
Or, on vérifie facilement à l'aide du graphique que : BC→=JI→\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{JI} et HK→=IL→\overrightarrow{HK}=\overrightarrow{IL}.
Il en résulte :
FJ→+BC→−KH→=FJ⃗+JI⃗+IL⃗\overrightarrow{FJ}+\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{KH}=\vec{F\mathbf{J}}+\vec{\mathbf{J}I}+\vec{IL}
FJ→+BC→−KH→=FI→+IL→\overrightarrow{FJ}+\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{KH}=\overrightarrow{FI}+\overrightarrow{IL}
FJ→+BC→−KH→=FI→+IL→\overrightarrow{FJ}+\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{KH}=\overrightarrow{F\mathbf{I}}+\overrightarrow{\mathbf{I}L}
FJ→+BC→−KH→=FL→\overrightarrow{FJ}+\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{KH}=\overrightarrow{FL}
Question 5

AH→+DJ→=\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{DJ}=

Correction
D'après le graphique , on a : DJ→=HL→\overrightarrow{DJ}=\overrightarrow{HL}.
Il vient alors que :
AH→+DJ→=AH→+HL→\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{DJ}=\overrightarrow{A\mathbf{H}}+\overrightarrow{\mathbf{H}L}
AH→+DJ→=AL→\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{DJ}=\overrightarrow{AL}
Question 6

DA→+EF→=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{EF}=

Correction
D'après le graphique , on a : DA→=HE→\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{HE}.
Il vient alors que :
DA→+EF→=HE→+EF→\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{H\mathbf{E}}+\overrightarrow{\mathbf{E}F}
DA→+EF→=HF→\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{HF}
Question 7

DI→−GC→−BH→=\overrightarrow{DI}-\overrightarrow{GC}-\overrightarrow{BH}=

Correction
DI→−GC→−BH→=DI→+CG→+HB→\overrightarrow{DI}-\overrightarrow{GC}-\overrightarrow{BH}=\overrightarrow{DI}+\overrightarrow{CG}+\overrightarrow{HB}
D'après le graphique , on a : CG→=IK→\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{IK} et HB→=KE→\overrightarrow{HB}=\overrightarrow{KE}.
Il vient alors que :
DI→−GC→−BH→=DI→+IK→+KE→\overrightarrow{DI}-\overrightarrow{GC}-\overrightarrow{BH}=\overrightarrow{D\mathbf{I}}+\overrightarrow{\mathbf{I}K}+\overrightarrow{KE}
DI→−GC→−BH→=DK→+KE→\overrightarrow{DI}-\overrightarrow{GC}-\overrightarrow{BH}=\overrightarrow{D\mathbf{K}}+\overrightarrow{\mathbf{K}E}
DI→−GC→−BH→=DE→\overrightarrow{DI}-\overrightarrow{GC}-\overrightarrow{BH}=\overrightarrow{DE}