Égalité vectorielle et colinéarité - Exercice 2

10 min
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Question 1

On admet la relation vectorielle CB→=BA→\overrightarrow{CB} =\overrightarrow{BA}
Déterminer une relation de colinéarité entre AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} .

Correction
Deux vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} sont dits colinéaires s’il existe un réel kk tel que u→=kv→\overrightarrow{u}=k\overrightarrow{v} .
Deux vecteurs colinéaires ont obligatoirement la même direction.
    La relation de Chasles.
  • Quels que soient les points AA, BB et CC on a : AB→+BC→=AC→\overrightarrow{A\red{\mathbf{B}}}+\overrightarrow{\red{\mathbf{B}}C}=\overrightarrow{AC}
Nous savons que CB→=BA→\overrightarrow{CB} =\overrightarrow{BA}
On va utiliser la relation de Chasles :
CA→+AB→=BA→\overrightarrow{C\red{\mathbf{A}}}+\overrightarrow{\red{\mathbf{A}}B}=\overrightarrow{BA} équivaut successivement à :
CA→=BA→−AB→\overrightarrow{CA} =\overrightarrow{BA} -\overrightarrow{AB}
    Opposé d'un vecteur.
  • L'opposé du vecteur AB→\overrightarrow{AB} est le vecteur BA→\overrightarrow{BA}. Nous avons alors : AB→=−BA→\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA}
CA→=BA→+BA→\overrightarrow{CA} =\overrightarrow{BA} +\overrightarrow{BA}
Ainsi :
CA→=2BA→\overrightarrow{CA} =2\overrightarrow{BA}

c'est-à-dire, en prenant les opposés des deux vecteurs : AC→=2AB→\overrightarrow{AC} =2\overrightarrow{AB} .
La relation vectorielle CA→=2BA→\overrightarrow{CA} =2\overrightarrow{BA} signifie que les vecteurs CA→\overrightarrow{CA} et BA→\overrightarrow{BA} sont colinéaires. Ici, le réel kk est égal à 22 .
Question 2

On admet la relation vectorielle AB→=3BC→\overrightarrow{AB} =3\overrightarrow{BC}
Déterminer une relation de colinéarité entre AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} .

Correction
Deux vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} sont dits colinéaires s’il existe un réel kk tel que u→=kv→\overrightarrow{u}=k\overrightarrow{v} .
Deux vecteurs colinéaires ont obligatoirement la même direction.
    La relation de Chasles.
  • Quels que soient les points AA, BB et CC on a : AB→+BC→=AC→\overrightarrow{A\red{\mathbf{B}}}+\overrightarrow{\red{\mathbf{B}}C}=\overrightarrow{AC}
Nous savons que AB→=3BC→\overrightarrow{AB} =3\overrightarrow{BC}
On va utiliser la relation de Chasles :
AB→=3×(BA→+AC→)\overrightarrow{AB} =3\times\left(\overrightarrow{B\red{\mathbf{A}}}+\overrightarrow{\red{\mathbf{A}}C}\right) équivaut successivement à :
AB→=3BA→+3AC→\overrightarrow{AB} =3\overrightarrow{BA} +3\overrightarrow{AC}
AB→−3BA→=3AC→\overrightarrow{AB} -3\overrightarrow{BA} =3\overrightarrow{AC}
    Opposé d'un vecteur.
  • L'opposé du vecteur AB→\overrightarrow{AB} est le vecteur BA→\overrightarrow{BA}. Nous avons alors : AB→=−BA→\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA}
AB→+3AB→=3AC→\overrightarrow{AB} +3\overrightarrow{AB} =3\overrightarrow{AC}
4AB→=3AC→4\overrightarrow{AB} =3\overrightarrow{AC}
Ainsi :
AB→=34AC→\overrightarrow{AB} =\frac{3}{4} \overrightarrow{AC}

La relation vectorielle AB→=34AC→\overrightarrow{AB} =\frac{3}{4} \overrightarrow{AC} signifie que les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont colinéaires. Ici, le réel kk est égal à 34\frac{3}{4} .
Question 3

On admet la relation vectorielle 5CA→=2CB→+3BA→5\overrightarrow{CA} =2\overrightarrow{CB} +3\overrightarrow{BA}
Déterminer une relation de colinéarité entre AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} .

Correction
Deux vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} sont dits colinéaires s’il existe un réel kk tel que u→=kv→\overrightarrow{u}=k\overrightarrow{v} .
Deux vecteurs colinéaires ont obligatoirement la même direction.
    La relation de Chasles.
  • Quels que soient les points AA, BB et CC on a : AB→+BC→=AC→\overrightarrow{A\red{\mathbf{B}}}+\overrightarrow{\red{\mathbf{B}}C}=\overrightarrow{AC}
5CA→=2CB→+3BA→5\overrightarrow{CA} =2\overrightarrow{CB} +3\overrightarrow{BA}
On va utiliser la relation de Chasles :
5CA→=2×(CA→+AB→)+3BA→5\overrightarrow{CA} =2\times \left(\overrightarrow{C\red{\mathbf{A}}} +\overrightarrow{\red{\mathbf{A}}B} \right)+3\overrightarrow{BA}
5CA→=2×CA→+2×AB→+3BA→5\overrightarrow{CA} =2\times \overrightarrow{CA} +2\times \overrightarrow{AB} +3\overrightarrow{BA}
5CA→=2CA→+2AB→+3BA→5\overrightarrow{CA} =2\overrightarrow{CA} +2\overrightarrow{AB} +3\overrightarrow{BA}
5CA→−2CA→=2AB→+3BA→5\overrightarrow{CA} -2\overrightarrow{CA} =2\overrightarrow{AB} +3\overrightarrow{BA}
3CA→=2AB→+3BA→3\overrightarrow{CA} =2\overrightarrow{AB} +3\overrightarrow{BA}
    Opposé d'un vecteur.
  • L'opposé du vecteur AB→\overrightarrow{AB} est le vecteur BA→\overrightarrow{BA}. Nous avons alors : AB→=−BA→\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA}
3CA→=2AB→−3AB→3\overrightarrow{CA} =2\overrightarrow{AB} -3\overrightarrow{AB}
3CA→=−AB→3\overrightarrow{CA} =-\overrightarrow{AB}
CA→=−13AB→\overrightarrow{CA} =-\frac{1}{3} \overrightarrow{AB}
−AC→=−13AB→-\overrightarrow{AC} =-\frac{1}{3} \overrightarrow{AB}
Ainsi :
AC→=13AB→\overrightarrow{AC} =\frac{1}{3} \overrightarrow{AB}

La relation vectorielle AC→=13AB→\overrightarrow{AC} =\frac{1}{3} \overrightarrow{AB} signifie que les vecteurs AC→\overrightarrow{AC} et AB→\overrightarrow{AB} sont colinéaires. Ici, le réel kk est égal à 13\frac{1}{3} .

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