Vecteurs du plan : première Partie

Egalité vectorielle et colinéarité - Exercice 1

6 min
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Question 1

On admet la relation vectorielle AB→=3AC→\overrightarrow{AB} =3\overrightarrow{AC} . Que peut-on en déduire graphiquement ?

Correction
Deux vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} sont dits colinéaires s’il existe un réel kk tel que u→=kv→\overrightarrow{u}=k\overrightarrow{v} .
Deux vecteurs colinéaires ont obligatoirement la même direction.
La relation vectorielle AB→=3AC→\overrightarrow{AB} =3\overrightarrow{AC} signifie que les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont colinéaires. Ici, le réel kk est égale à 33 .
    Alignement
Deux vecteurs colinéaires avec un point en commun permettent d'affirmer que les points sont alignés.
AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont colinéaires et ils ont AA comme point commun.
Il en résulte donc que les points AA, BB et CC sont alignés.
Question 2

On admet la relation vectorielle CD→=−AF→\overrightarrow{CD} =-\overrightarrow{AF} . Que peut-on en déduire graphiquement ?

Correction
Deux vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} sont dits colinéaires s’il existe un réel kk tel que u→=kv→\overrightarrow{u}=k\overrightarrow{v} .
Deux vecteurs colinéaires ont obligatoirement la même direction.
La relation vectorielle CD→=−AF→\overrightarrow{CD} =-\overrightarrow{AF} signifie que les vecteurs CD→\overrightarrow{CD} et AF→\overrightarrow{AF} sont colinéaires. Ici, le réel kk est égale à −1-1 .
    Parallélisme
Deux vecteurs colinéaires sans point en commun permettent d'affirmer que les droites sont parallèles.
CD→\overrightarrow{CD} et AF→\overrightarrow{AF} sont colinéaires et ils n'ont pas de point commun.
Il en résulte donc que les droites (CD)\left(CD\right) et (AF)\left(AF\right) sont parallèles.
Question 3

On admet la relation vectorielle DC→=9BC→\overrightarrow{DC} =9\overrightarrow{BC} . Que peut-on en déduire graphiquement ?

Correction
Deux vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} sont dits colinéaires s’il existe un réel kk tel que u→=kv→\overrightarrow{u}=k\overrightarrow{v} .
Deux vecteurs colinéaires ont obligatoirement la même direction.
La relation vectorielle DC→=9BC→\overrightarrow{DC} =9\overrightarrow{BC} signifie que les vecteurs DC→\overrightarrow{DC} et BC→\overrightarrow{BC} sont colinéaires. Ici, le réel kk est égale à 99 .
    Alignement
Deux vecteurs colinéaires avec un point en commun permettent d'affirmer que les points sont alignés.
DC→\overrightarrow{DC} et BC→\overrightarrow{BC} sont colinéaires et ils ont CC comme point commun.
Il en résulte donc que les points DD, CC et BB sont alignés.
Question 4

On admet la relation vectorielle CA→=−14BD→\overrightarrow{CA} =-\frac{1}{4}\overrightarrow{BD} . Que peut-on en déduire graphiquement ?

Correction
Deux vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} sont dits colinéaires s’il existe un réel kk tel que u→=kv→\overrightarrow{u}=k\overrightarrow{v} .
Deux vecteurs colinéaires ont obligatoirement la même direction.
La relation vectorielle CA→=−14BD→\overrightarrow{CA} =-\frac{1}{4}\overrightarrow{BD} signifie que les vecteurs CA→\overrightarrow{CA} et BD→\overrightarrow{BD} sont colinéaires. Ici, le réel kk est égale à −14-\frac{1}{4} .
    Parallélisme
Deux vecteurs colinéaires sans point en commun permettent d'affirmer que les droites sont parallèles.
CA→\overrightarrow{CA} et BD→\overrightarrow{BD} sont colinéaires et ils n'ont pas de point commun.
Il en résulte donc que les droites (CA)\left(CA\right) et (BD)\left(BD\right) sont parallèles.