Déterminer la nature d'un triangle - Exercice 2

$$\text{\color{blue}Premièrement :}$$

$$AB=\sqrt{\left(x_{B} -x_{A} \right)^{2} +\left(y_{B} -y_{A} \right)^{2} }$$ équivaut successivement à :
$$AB=\sqrt{\left(5-\left(-1\right) \right)^{2} +\left(-2-2 \right)^{2} }$$
$$AB=\sqrt{6^{2} +\left(-4 \right)^{2} }$$
$$AB=\sqrt{36+16 }$$

$$\text{\color{blue}Deuxièmement :}$$

$$AC=\sqrt{\left(x_{C} -x_{A} \right)^{2} +\left(y_{C} -y_{A} \right)^{2} }$$ équivaut successivement à :
$$AC=\sqrt{\left(0-\left(-1\right) \right)^{2} +\left(-3-2 \right)^{2} }$$
$$AC=\sqrt{1^{2} +\left(-5 \right)^{2} }$$
$$AC=\sqrt{1+25}$$

$$\text{\color{blue}Enfin :}$$

$$BC=\sqrt{\left(x_{C} -x_{B} \right)^{2} +\left(y_{C} -y_{B} \right)^{2} }$$ équivaut successivement à :
$$BC=\sqrt{\left(0-5 \right)^{2} +\left(-3-\left(-2\right) \right)^{2} }$$
$$BC=\sqrt{\left(-5 \right)^{2} +\left(-1 \right)^{2} }$$
$$BC=\sqrt{25+1}$$

Dans un premier temps, comme $$BC=AC$$ alors le triangle $$ABC$$ est isocèle en $$C$$.
Mais d'après la question $$1$$, on peut aussi conjecturer que le triangle est rectangle en $$C$$. Démontrons cette conjecture à la question suivante.

Nous pouvons déjà affirmé que le triangle $$ABC$$ est isocèle en $$C$$ car $$BC=AC$$.
De plus :

$$\text{\color{blue}D'une part :}$$ $$AB^{2}=\left(\sqrt{52} \right)^{2} =52$$

$$\text{\color{blue}D'autre part :}$$ $$BC^{2}+AC^{2}=\left(\sqrt{26}\right)^{2}+\left(\sqrt{26}\right)^{2}$$ ainsi : $$BC^{2}+AC^{2}=26+26=52$$

Il en résulte donc que :
$$AB^{2} =BC^{2}+AC^{2}$$ alors, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $$ABC$$ est rectangle isocèle en $$C$$.