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Déterminer la nature d'un triangle - Exercice 1

15 min
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Question 1
Soit (0;i→;j→)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère du plan. On considère les points C(3;4)C\left(3;4 \right) ; D(4;0)D\left(4;0\right) et E(0;1)E\left(0;1\right) .

Placer les points dans le repère et en en déduire la nature du triangle CDECDE .

Correction
On conjecture que le triangle CDECDE est équilatéral .
Question 2

Démontrer votre conjecture. Autrement dit indiquer la nature du triangle CDECDE .

Correction
Soit (0;i→;j→)\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère orthonormal du plan et deux points A(xA;yA)A\left(x_{A} ;y_{A} \right) et B(xB;yB)B\left(x_{B} ;y_{B} \right). La distance ABAB est donnée par la formule :
  • AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2AB=\sqrt{\left(x_{B} -x_{A} \right)^{2} +\left(y_{B} -y_{A} \right)^{2} }
  • Calculons d’une part :\text{\color{blue}Calculons d'une part :}
    • CD=(xD−xC)2+(yD−yC)2CD=\sqrt{\left(x_{D} -x_{C} \right)^{2} +\left(y_{D} -y_{C} \right)^{2} } équivaut successivement à :
    CD=(4−3)2+(0−4)2CD=\sqrt{\left(4-3 \right)^{2} +\left(0-4 \right)^{2} }
    CD=12+(−4)2CD=\sqrt{1^{2} +\left(-4 \right)^{2} }
    CD=1+16CD=\sqrt{1+16 }
    CD=17CD=\sqrt{17 }
  • Calculons d’autre part :\text{\color{blue}Calculons d'autre part :}
    • DE=(xE−xD)2+(yE−yD)2DE=\sqrt{\left(x_{E} -x_{D} \right)^{2} +\left(y_{E} -y_{D} \right)^{2} } équivaut successivement à :
    DE=(0−4)2+(1−0)2DE=\sqrt{\left(0-4 \right)^{2} +\left(1-0 \right)^{2} }
    DE=(−4)2+1DE=\sqrt{\left(-4 \right)^{2}+1 }
    DE=16+1DE=\sqrt{16+1 }
    DE=17DE=\sqrt{17 }
  • Enfin :\text{\color{blue}Enfin :}
    • CE=(xE−xC)2+(yE−yC)2CE=\sqrt{\left(x_{E} -x_{C} \right)^{2} +\left(y_{E} -y_{C} \right)^{2} } équivaut successivement à :
    CE=(0−3)2+(1−4)2CE=\sqrt{\left(0-3 \right)^{2} +\left(1-4 \right)^{2} }
    CE=(−3)2+(−3)2CE=\sqrt{\left(-3 \right)^{2} +\left(-3 \right)^{2} }
    CE=9+9CE=\sqrt{9+9 }
    CE=18CE=\sqrt{18 }

    Or :\text{\color{red}Or :} DE=CDDE=CD donc le triangle CDECDE est isocèle en EE . Ce que nous avions conjecturé à la question 11 n'était donc pas vrai .