Calculer une distance dans un repère orthonormé - Exercice 4

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Soit (O;i→;j→)\left(O;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère du plan. On considère les points A(1;1)A\left(1;1 \right) ; B(3;3)B\left(3;3\right) et C(3;−1)C\left(3;-1\right).
Question 1

Placer les points dans un repère.

Correction
Question 2

Quelle est la nature du triangle ABCABC?

Correction
Calculons les longueurs des trois côtés du triangle ABCABC.
Soit (O;i→;j→)\left(O;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère orthonormal du plan et deux points A(xA;yA)A\left(x_{A} ;y_{A} \right) et B(xB;yB)B\left(x_{B} ;y_{B} \right). La distance ABAB est donnée par la formule :
  • AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2AB=\sqrt{\left(x_{B} -x_{A} \right)^{2} +\left(y_{B} -y_{A} \right)^{2} }
Ainsi :
AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2⇔AB=(3−1)2+(3−1)2⇔AB=22+22AB=\sqrt{\left(x_{B} -x_{A} \right)^{2} +\left(y_{B} -y_{A} \right)^{2} }\Leftrightarrow AB=\sqrt{\left(3-1\right)^{2} +\left(3-1\right)^{2} } \Leftrightarrow AB=\sqrt{2^{2} +2^{2} }
D'où :
AB=8AB=\sqrt{8}

AC=(xC−xA)2+(yC−yA)2⇔AC=(3−1)2+(−1−1)2⇔AC=22+(−2)2AC=\sqrt{\left(x_{C} -x_{A} \right)^{2} +\left(y_{C} -y_{A} \right)^{2} }\Leftrightarrow AC=\sqrt{\left(3-1\right)^{2} +\left(-1-1\right)^{2} } \Leftrightarrow AC=\sqrt{2^{2} +\left(-2\right)^{2} }
D'où :
AC=8AC=\sqrt{8}

BC=(xC−xB)2+(yC−yB)2⇔BC=(3−3)2+(−1−3)2⇔BC=02+(−4)2BC=\sqrt{\left(x_{C} -x_{B} \right)^{2} +\left(y_{C} -y_{B} \right)^{2} }\Leftrightarrow BC=\sqrt{\left(3-3\right)^{2} +\left(-1-3\right)^{2} } \Leftrightarrow BC=\sqrt{0^{2} +\left(-4\right)^{2} }
D'où :
BC=4BC=4

Nous pouvons déjà observé que le triangle est isocèle car AB=ACAB=AC.
De plus :

D’une part :\red{\text{D'une part :}} BC2=42=16BC^{2}=4^{2}=16
D’autre part :\red{\text{D'autre part :}} AC2+AB2=(8)2+(8)2AC^{2}+AB^{2}=\left(\sqrt{8}\right)^{2}+\left(\sqrt{8}\right)^{2} ainsi : AC2+AB2=8+8=16AC^{2}+AB^{2}=8+8=16
Il en résulte donc que :
BC2=AB2+AC2BC^{2} =AB^{2} +AC^{2} alors, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABCABC est isocèle rectangle en AA.

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