Nouveau

🔥 Découvre nos fiches d'exercices gratuites avec corrections en vidéo !Accéder aux fiches  →

Calculer les coordonnées du milieu d'un segment dans un repère orthonormé - Exercice 1

10 min
15
Soit (O;i→;j→)\left(O;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère orthonormé du plan. On considère les points C(−1;0)C\left(-1;0 \right) ; B(3;2)B\left(3;2\right).
Question 1

Déterminer les coordonnées du milieu A(xA;yA)A\left(x_{A} ;y_{A} \right) du segment [CB]\left[CB\right].

Correction
Soit (O;i→;j→)\left(O;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère orthonormé du plan et deux points A(xA;yA)A\left(x_{A} ;y_{A} \right) et B(xB;yB)B\left(x_{B} ;y_{B} \right)
  • Les coordonnées du milieu I(xI;yI)I\left(x_{I} ;y_{I} \right) du segment [AB]\left[AB\right] sont : xI=xA+xB2x_{I} =\frac{x_{A} +x_{B} }{2} et yI=yA+yB2y_{I} =\frac{y_{A} +y_{B} }{2}
Il vient alors que :
D’une part :\red{\text{D'une part :}}
xA=xB+xC2x_{A} =\frac{x_{B} +x_{C} }{2} équivaut successivement à :
xA=3+(−1)2x_{A} =\frac{3+\left(-1\right) }{2}
xA=22x_{A} =\frac{2}{2}
xA=1x_{A} =1

D’autre part :\red{\text{D'autre part :}}
yA=yB+yC2y_{A} =\frac{y_{B} +y_{C} }{2}
yA=2+02y_{A} =\frac{2+0}{2}
yA=22y_{A} =\frac{2}{2}
yA=1y_{A} =1

Les coordonnées du milieu AA du segment [BC]\left[BC\right] sont A(1;1)A\left(1 ;1 \right)

Question 2
Soit (O;i→;j→)\left(O;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère orthonormé du plan. On considère les points A(2;6)A\left(2;6 \right) ; B(4;8)B\left(4;8\right).

Déterminer les coordonnées du milieu I(xI;yI)I\left(x_{I} ;y_{I} \right) du segment [AB]\left[AB\right].

Correction
Soit (O;i→;j→)\left(O;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère orthonormé du plan et deux points A(xA;yA)A\left(x_{A} ;y_{A} \right) et B(xB;yB)B\left(x_{B} ;y_{B} \right)
  • Les coordonnées du milieu I(xI;yI)I\left(x_{I} ;y_{I} \right) du segment [AB]\left[AB\right] sont : xI=xA+xB2x_{I} =\frac{x_{A} +x_{B} }{2} et yI=yA+yB2y_{I} =\frac{y_{A} +y_{B} }{2}
Il vient alors que :
D’une part :\red{\text{D'une part :}}
xI=xA+xB2x_{I} =\frac{x_{A} +x_{B} }{2} équivaut successivement à :
xI=2+42x_{I} =\frac{2 +4 }{2}
xI=62x_{I} =\frac{6}{2}
xI=3x_{I} =3

D’autre part :\red{\text{D'autre part :}}
yI=yA+yB2y_{I} =\frac{y_{A} +y_{B} }{2}
yI=6+82y_{I} =\frac{6 +8}{2}
yI=142y_{I} =\frac{14}{2}
yI=7y_{I} =7

Les coordonnées du milieu II du segment [AB]\left[AB\right] sont I(3;7)I\left(3 ;7 \right)
Question 3
Soit (O;i→;j→)\left(O;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère orthonormé du plan. On considère les points A(−1;4)A\left(-1;4 \right) ; B(2;5)B\left(2;5\right).

Déterminer les coordonnées du milieu I(xI;yI)I\left(x_{I} ;y_{I} \right) du segment [AB]\left[AB\right].

Correction
Soit (O;i→;j→)\left(O;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère orthonormé du plan et deux points A(xA;yA)A\left(x_{A} ;y_{A} \right) et B(xB;yB)B\left(x_{B} ;y_{B} \right)
  • Les coordonnées du milieu I(xI;yI)I\left(x_{I} ;y_{I} \right) du segment [AB]\left[AB\right] sont : xI=xA+xB2x_{I} =\frac{x_{A} +x_{B} }{2} et yI=yA+yB2y_{I} =\frac{y_{A} +y_{B} }{2}
Il vient alors que :
D’une part :\red{\text{D'une part :}}
xI=xA+xB2x_{I} =\frac{x_{A} +x_{B} }{2} équivaut successivement à :
xI=−1+22x_{I} =\frac{-1 +2 }{2}
xI=12x_{I} =\frac{1}{2}

D’autre part :\red{\text{D'autre part :}}
yI=yA+yB2y_{I} =\frac{y_{A} +y_{B} }{2}
yI=4+52y_{I} =\frac{4 +5}{2}
yI=92y_{I} =\frac{9}{2}

Les coordonnées du milieu II du segment [AB]\left[AB\right] sont I(12;92)I\left(\frac{1}{2} ;\frac{9}{2} \right)
Question 4
Soit (O;i→;j→)\left(O;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère orthonormé du plan. On considère les points A(4;−2)A\left(4;-2 \right) ; B(0;−4)B\left(0;-4\right).

Déterminer les coordonnées du milieu I(xI;yI)I\left(x_{I} ;y_{I} \right) du segment [AB]\left[AB\right].

Correction
Soit (O;i→;j→)\left(O;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère orthonormé du plan et deux points A(xA;yA)A\left(x_{A} ;y_{A} \right) et B(xB;yB)B\left(x_{B} ;y_{B} \right)
  • Les coordonnées du milieu I(xI;yI)I\left(x_{I} ;y_{I} \right) du segment [AB]\left[AB\right] sont : xI=xA+xB2x_{I} =\frac{x_{A} +x_{B} }{2} et yI=yA+yB2y_{I} =\frac{y_{A} +y_{B} }{2}
Il vient alors que :
D’une part :\red{\text{D'une part :}}
xI=xA+xB2x_{I} =\frac{x_{A} +x_{B} }{2} équivaut successivement à :
xI=4+02x_{I} =\frac{4+0 }{2}
xI=42x_{I} =\frac{4 }{2}
xI=2x_{I} =2

D’autre part :\red{\text{D'autre part :}}
yI=yA+yB2y_{I} =\frac{y_{A} +y_{B} }{2}
yI=−2+(−4)2y_{I} =\frac{-2+\left(-4\right)}{2}
yI=−62y_{I} =\frac{-6}{2}
yI=−3y_{I} =-3

Les coordonnées du milieu II du segment [AB]\left[AB\right] sont I(2;−3)I\left(2 ;-3 \right)