D’une part :BC2=(26)2=26 D’autre part :AC2+AB2=(18)2+(8)2 ainsi : AC2+AB2=18+8=26 Il en résulte donc que : BC2=AB2+AC2 alors, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.
Exercice 3
Soit (0;i;j) un repère du plan. On considère les points C(5;−3) et D(−1;1). Soit C le cercle de diamètre [CD].
1
On note T le centre du cercle. Calculer les coordonnées du point T.
Correction
Nous savons que C est le cercle de diamètre [CD]. Ainsi le point T est le milieu du segment [CD].
Soit (0;i;j) un repère du plan et deux points A(xA;yA) et B(xB;yB)
Les coordonnées du milieu I(xI;yI) du segment [AB] sont : xI=2xA+xB et yI=2yA+yB
Il vient alors que : D’une part : xT=2xC+xD équivaut successivement à : xT=25−1 xT=24
xT=2
D’autre part : yT=2yB+yC yT=2−3+1 yT=2−2
yT=−1
Les coordonnées du milieu T du diamètre [CD] sont T(2;−1)
2
Montrer que le cercle C a pour rayon 13.
Correction
Un rayon du cercle C est par exemple la longueur CT.
Soit (0;i;j) un repère orthonormal du plan et deux points A(xA;yA) et B(xB;yB). La distanceAB est donnée par la formule :
AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2
Ainsi : CT=(xT−xC)2+(yT−yC)2 équivaut successivement à : CT=(2−5)2+(−1−(−3))2 CT=(−3)2+22 CT=9+4
CT=13
Exercice 4
Soit (0;i;j) un repère du plan. On considère les points A(1;1) ; B(3;3) et C(3;−1).
1
Placer les points dans un repère.
Correction
2
Quelle est la nature du triangle ABC?
Correction
Calculons les longueurs des trois côtés du triangle ABC.
Soit (0;i;j) un repère orthonormal du plan et deux points A(xA;yA) et B(xB;yB). La distanceAB est donnée par la formule :
AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2
Ainsi : AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2⇔AB=(3−1)2+(3−1)2⇔AB=22+22 D'où :
Nous pouvons déjà observé que le triangle est isocèle car AB=AC. De plus :
D’une part :BC2=42=16 D’autre part :AC2+AB2=(8)2+(8)2 ainsi : AC2+AB2=8+8=16 Il en résulte donc que : BC2=AB2+AC2 alors, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est isocèle rectangle en A.
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