Calculer la distance entre deux points

Ainsi :
$AB=\sqrt{\left(x_{B} -x_{A} \right)^{2} +\left(y_{B} -y_{A} \right)^{2} }$ équivaut successivement à :
$AB=\sqrt{\left(4-2 \right)^{2} +\left(7-6 \right)^{2} }$
$AB=\sqrt{2^{2} +1^{2} }$

Ainsi :
$AB=\sqrt{\left(x_{B} -x_{A} \right)^{2} +\left(y_{B} -y_{A} \right)^{2} }$ équivaut successivement à :
$AB=\sqrt{\left(3-\left(-4\right) \right)^{2} +\left(8-1 \right)^{2} }$
$AB=\sqrt{7^{2} +7^{2} }$
$AB=\sqrt{98 }$

Ainsi :
$DE=\sqrt{\left(x_{E} -x_{D} \right)^{2} +\left(y_{E} -y_{D} \right)^{2} }$ équivaut successivement à :
$DE=\sqrt{\left(-2-0 \right)^{2} +\left(9-3 \right)^{2} }$
$DE=\sqrt{\left(-2\right)^{2} +6^{2} }$
$DE=\sqrt{40 }$

Calculons les longueurs des trois côtés du triangle $ABC$.
Ainsi :
$AB=\sqrt{\left(x_{B} -x_{A} \right)^{2} +\left(y_{B} -y_{A} \right)^{2} }\Leftrightarrow AB=\sqrt{\left(-3-\left(-1\right)\right)^{2} +\left(3-1\right)^{2} } \Leftrightarrow AB=\sqrt{\left(-2\right)^{2} +2^{2} }$
D'où :
$AC=\sqrt{\left(x_{C} -x_{A} \right)^{2} +\left(y_{C} -y_{A} \right)^{2} }\Leftrightarrow AC=\sqrt{\left(2-\left(-1\right)\right)^{2} +\left(4-1\right)^{2} } \Leftrightarrow AC=\sqrt{3^{2} +3^{2} }$
D'où :
$BC=\sqrt{\left(x_{C} -x_{B} \right)^{2} +\left(y_{C} -y_{B} \right)^{2} }\Leftrightarrow BC=\sqrt{\left(2-\left(-3\right)\right)^{2} +\left(4-3\right)^{2} } \Leftrightarrow BC=\sqrt{5^{2} +1^{2} }$
D'où :
$\red{\text{D'une part :}}$ $BC^{2}=\left(\sqrt{26}\right)^{2}=26$
$\red{\text{D'autre part :}}$ $AC^{2}+AB^{2}=\left(\sqrt{18}\right)^{2}+\left(\sqrt{8}\right)^{2}$ ainsi : $AC^{2}+AB^{2}=18+8=26$
Il en résulte donc que :
$BC^{2} =AB^{2} +AC^{2}$ alors, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.

Nous savons que $\mathscr{C}$ est le cercle de diamètre $\left[CD\right]$. Ainsi le point $T$ est le milieu du segment $\left[CD\right]$.
Il vient alors que :
$\red{\text{D'une part :}}$
$x_{T} =\frac{x_{C} +x_{D} }{2}$ équivaut successivement à :
$x_{T} =\frac{5-1 }{2}$
$x_{T} =\frac{4}{2}$

$\red{\text{D'autre part :}}$
$y_{T} =\frac{y_{B} +y_{C} }{2}$
$y_{T} =\frac{-3+1}{2}$
$y_{T} =\frac{-2}{2}$

Les coordonnées du milieu $T$ du diamètre $\left[CD\right]$ sont $T\left(2;-1 \right)$

Un rayon du cercle $\mathscr{C}$ est par exemple la longueur $CT$.
Ainsi :
$CT=\sqrt{\left(x_{T} -x_{C} \right)^{2} +\left(y_{T} -y_{C} \right)^{2} }$ équivaut successivement à :
$CT=\sqrt{\left(2-5 \right)^{2} +\left(-1-\left(-3\right) \right)^{2} }$
$CT=\sqrt{\left(-3 \right)^{2} +2^{2} }$
$CT=\sqrt{9+4 }$

Calculons les longueurs des trois côtés du triangle $ABC$.
Ainsi :
$AB=\sqrt{\left(x_{B} -x_{A} \right)^{2} +\left(y_{B} -y_{A} \right)^{2} }\Leftrightarrow AB=\sqrt{\left(3-1\right)^{2} +\left(3-1\right)^{2} } \Leftrightarrow AB=\sqrt{2^{2} +2^{2} }$
D'où :
$AC=\sqrt{\left(x_{C} -x_{A} \right)^{2} +\left(y_{C} -y_{A} \right)^{2} }\Leftrightarrow AC=\sqrt{\left(3-1\right)^{2} +\left(-1-1\right)^{2} } \Leftrightarrow AC=\sqrt{2^{2} +\left(-2\right)^{2} }$
D'où :
$BC=\sqrt{\left(x_{C} -x_{B} \right)^{2} +\left(y_{C} -y_{B} \right)^{2} }\Leftrightarrow BC=\sqrt{\left(3-3\right)^{2} +\left(-1-3\right)^{2} } \Leftrightarrow BC=\sqrt{0^{2} +\left(-4\right)^{2} }$
D'où :
Nous pouvons déjà observé que le triangle est isocèle car $AB=AC$.
De plus :

$\red{\text{D'une part :}}$ $BC^{2}=4^{2}=16$
$\red{\text{D'autre part :}}$ $AC^{2}+AB^{2}=\left(\sqrt{8}\right)^{2}+\left(\sqrt{8}\right)^{2}$ ainsi : $AC^{2}+AB^{2}=8+8=16$
Il en résulte donc que :
$BC^{2} =AB^{2} +AC^{2}$ alors, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est isocèle rectangle en $A$.