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Vecteurs du plan : première Partie
Calculer la distance entre deux points - Exercice 1
9 min
15
Question 1
Soit
(
0
;
i
→
;
j
→
)
\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right)
(
0
;
i
;
j
)
un repère du plan. On considère les points
A
(
2
;
6
)
A\left(2;6 \right)
A
(
2
;
6
)
et
B
(
4
;
7
)
B\left(4;7\right)
B
(
4
;
7
)
.
Calculer la distance
A
B
AB
A
B
.
Correction
Soit
(
0
;
i
→
;
j
→
)
\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right)
(
0
;
i
;
j
)
un repère
orthonormal
du plan et deux points
A
(
x
A
;
y
A
)
A\left(x_{A} ;y_{A} \right)
A
(
x
A
;
y
A
)
et
B
(
x
B
;
y
B
)
B\left(x_{B} ;y_{B} \right)
B
(
x
B
;
y
B
)
. La
distance
A
B
AB
A
B
est donnée par la formule :
A
B
=
(
x
B
−
x
A
)
2
+
(
y
B
−
y
A
)
2
AB=\sqrt{\left(x_{B} -x_{A} \right)^{2} +\left(y_{B} -y_{A} \right)^{2} }
A
B
=
(
x
B
−
x
A
)
2
+
(
y
B
−
y
A
)
2
Ainsi :
A
B
=
(
x
B
−
x
A
)
2
+
(
y
B
−
y
A
)
2
AB=\sqrt{\left(x_{B} -x_{A} \right)^{2} +\left(y_{B} -y_{A} \right)^{2} }
A
B
=
(
x
B
−
x
A
)
2
+
(
y
B
−
y
A
)
2
équivaut successivement à :
A
B
=
(
4
−
2
)
2
+
(
7
−
6
)
2
AB=\sqrt{\left(4-2 \right)^{2} +\left(7-6 \right)^{2} }
A
B
=
(
4
−
2
)
2
+
(
7
−
6
)
2
A
B
=
2
2
+
1
2
AB=\sqrt{2^{2} +1^{2} }
A
B
=
2
2
+
1
2
A
B
=
5
AB=\sqrt{5 }
A
B
=
5
Question 2
Soit
(
0
;
i
→
;
j
→
)
\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right)
(
0
;
i
;
j
)
un repère du plan. On considère les points
A
(
−
4
;
1
)
A\left(-4;1 \right)
A
(
−
4
;
1
)
et
B
(
3
;
8
)
B\left(3;8\right)
B
(
3
;
8
)
.
Calculer la distance
A
B
AB
A
B
.
Correction
Soit
(
0
;
i
→
;
j
→
)
\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right)
(
0
;
i
;
j
)
un repère
orthonormal
du plan et deux points
A
(
x
A
;
y
A
)
A\left(x_{A} ;y_{A} \right)
A
(
x
A
;
y
A
)
et
B
(
x
B
;
y
B
)
B\left(x_{B} ;y_{B} \right)
B
(
x
B
;
y
B
)
. La
distance
A
B
AB
A
B
est donnée par la formule :
A
B
=
(
x
B
−
x
A
)
2
+
(
y
B
−
y
A
)
2
AB=\sqrt{\left(x_{B} -x_{A} \right)^{2} +\left(y_{B} -y_{A} \right)^{2} }
A
B
=
(
x
B
−
x
A
)
2
+
(
y
B
−
y
A
)
2
Ainsi :
A
B
=
(
x
B
−
x
A
)
2
+
(
y
B
−
y
A
)
2
AB=\sqrt{\left(x_{B} -x_{A} \right)^{2} +\left(y_{B} -y_{A} \right)^{2} }
A
B
=
(
x
B
−
x
A
)
2
+
(
y
B
−
y
A
)
2
équivaut successivement à :
A
B
=
(
3
−
(
−
4
)
)
2
+
(
8
−
1
)
2
AB=\sqrt{\left(3-\left(-4\right) \right)^{2} +\left(8-1 \right)^{2} }
A
B
=
(
3
−
(
−
4
)
)
2
+
(
8
−
1
)
2
A
B
=
7
2
+
7
2
AB=\sqrt{7^{2} +7^{2} }
A
B
=
7
2
+
7
2
A
B
=
98
AB=\sqrt{98 }
A
B
=
98
A
B
=
2
7
AB=2\sqrt{7 }
A
B
=
2
7
Question 3
Soit
(
0
;
i
→
;
j
→
)
\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right)
(
0
;
i
;
j
)
un repère du plan. On considère les points
D
(
0
;
3
)
D\left(0;3 \right)
D
(
0
;
3
)
et
E
(
−
2
;
9
)
E\left(-2;9\right)
E
(
−
2
;
9
)
.
Calculer la distance
D
E
DE
D
E
.
Correction
Soit
(
0
;
i
→
;
j
→
)
\left(0;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right)
(
0
;
i
;
j
)
un repère
orthonormal
du plan et deux points
A
(
x
A
;
y
A
)
A\left(x_{A} ;y_{A} \right)
A
(
x
A
;
y
A
)
et
B
(
x
B
;
y
B
)
B\left(x_{B} ;y_{B} \right)
B
(
x
B
;
y
B
)
. La
distance
A
B
AB
A
B
est donnée par la formule :
A
B
=
(
x
B
−
x
A
)
2
+
(
y
B
−
y
A
)
2
AB=\sqrt{\left(x_{B} -x_{A} \right)^{2} +\left(y_{B} -y_{A} \right)^{2} }
A
B
=
(
x
B
−
x
A
)
2
+
(
y
B
−
y
A
)
2
Ainsi :
D
E
=
(
x
E
−
x
D
)
2
+
(
y
E
−
y
D
)
2
DE=\sqrt{\left(x_{E} -x_{D} \right)^{2} +\left(y_{E} -y_{D} \right)^{2} }
D
E
=
(
x
E
−
x
D
)
2
+
(
y
E
−
y
D
)
2
équivaut successivement à :
D
E
=
(
−
2
−
0
)
2
+
(
9
−
3
)
2
DE=\sqrt{\left(-2-0 \right)^{2} +\left(9-3 \right)^{2} }
D
E
=
(
−
2
−
0
)
2
+
(
9
−
3
)
2
D
E
=
(
−
2
)
2
+
6
2
DE=\sqrt{\left(-2\right)^{2} +6^{2} }
D
E
=
(
−
2
)
2
+
6
2
D
E
=
40
DE=\sqrt{40 }
D
E
=
40
D
E
=
2
10
DE=2\sqrt{10 }
D
E
=
2
10