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Petits problèmes... - Exercice 1

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Un restaurateur fast-food, a relevé un jour donné, les âges des 4040 clients qui sont venus se restaurer chez lui. Il a regroupé les informations dans un tableau, que l'on donne ci-dessous :
Question 1

Calculer l'étendue de la série.

Correction
  • L’étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur d’une série statistique.
  • eˊtendue=4218\text{étendue}=42-18
    eˊtendue=24\text{étendue}=24
    Question 2

    Calculer la fréquence des personnes âgées de moins ou égales à 2020 ans.

    Correction
    L’effectif d’une valeur du caractère étudié est le nombre d’individus de la population ayant cette valeur.
    La fréquence d’une valeur est le quotient de l’effectif de cette valeur par l’effectif total de la population. (la fréquence peut être exprimée en pourcentage)
    La formule est alors : freˊquence=effectif de la valeureffectif total\text{fréquence}=\frac{\text{effectif de la valeur}}{\text{effectif total}}
    Nous avons 2020 personnes dans la population étudiée qui sont âgées de moins ou égales à 2020 ans.
    Nous allons faire un produit en croix pour trouver la fréquence des personnes âgées de moins ou égales à 2020 ans.
    Il en résulte donc que :
    freˊquence rechercheˊe=20×10040\text{fréquence recherchée}=\frac{20\times100}{40}
    freˊquence rechercheˊe=50\text{fréquence recherchée}=50

    Ainsi, la fréquence des personnes âgées de moins ou égales à 2020 ans est égale à 50%50\%.
    Question 3

    Calculer l'âge moyen des personnes ayant déjeuner dans ce restaurant.

    Correction
    La moyenne d'une série statistique est le réel, noté x\overline{x}, tel que :
    x=n1x1+n2x2+n3x3++npxpN\overline{x}=\frac{n_{1} x_{1} +n_{2} x_{2} +n_{3} x_{3} +\ldots +n_{p} x_{p} }{N}
    Ici, NN correspond à l'effectif total, c'est à dire : N=6+10+4+9+5+4+1+1=40N=6+10+4+9+5+4+1+1=40.
    Il vient alors que :
    x=18×6+19×10+20×4+22×9+23×5+28×4+35×1+42×140\overline{x}=\frac{18\times 6+19\times 10+20\times 4+22\times 9+23\times 5+28\times 4+35\times1+42\times1}{40}
    x=88040\overline{x}=\frac{880}{40}
    x=22\overline{x}=22
    .
    L'âge moyen des personnes ayant déjeuner dans ce restaurant est de 2222 ans.
    Question 4

    Déterminer le premier quartile.

    Correction
    Nous allons dans un premier temps rajouter la ligne des effectifs cumulés croissants. (ECC)
    Nous savons que N=40N=40 .
    En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.
  • Pour déterminer le 11er quartile, on commence par calculer N4=404\frac{N}{4} =\frac{40}{4} ce qui donne N4=10\frac{N}{4} =10.
  • Le 11er quartile, noté Q1Q_{1} , correspond à la 1010ème valeur de la série ordonnée (on arrondi toujours N4\frac{N}{4} par excès si son écriture est décimal).
    Ainsi :
    Q1=19Q_{1} =19
    .
    (Dans la ligne des ECC on recherche la valeur 1010 si elle n'apparait pas on prend la valeur supérieur ici on prend 1616 et donc cela correspond à 1919 ans)
    Question 5

    Déterminer le troisième quartile.

    Correction
    Nous allons dans un premier temps rajouter la ligne des effectifs cumulés croissants. (ECC)
    Nous savons que N=40N=40 .
    En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.
  • Pour déterminer le 33ème quartile, on commence par calculer 3N4=3×404\frac{3N}{4} =\frac{3\times40}{4} ce qui donne 3N4=30\frac{3N}{4} =30.
  • Le 33ème quartile, noté Q3Q_{3} , correspond à la 3030ème valeur de la série ordonnée (on arrondi toujours 3N4\frac{3N}{4} par excès si son écriture est décimal).
    Ainsi :
    Q3=23Q_{3} =23
    .
    (Dans la ligne des ECC on recherche la valeur 3030 et si elle n'apparait pas on prend la valeur supérieur ici on prend 3434 et donc cela correspond à 2323 ans)
    Question 6

    Déterminer la médiane. Interpréter le résultat de la valeur de la médiane obtenue.

    Correction
    Nous allons dans un premier temps rajouter la ligne des effectifs cumulés croissant.
    Pour déterminer la médiane, on commence par calculer N2=402\frac{N}{2} =\frac{40}{2} ce qui donne N2=20\frac{N}{2} =20.
    Comme NN est pair, on agit de la sorte.
    On indique que la médiane MeMe correspond à :
    Me=(N2)eˋme valeur de la seˊrie+(N2+1)eˋme valeur de la seˊrie2Me=\frac{\left(\frac{N}{2}\right)\text{ème valeur de la série} + \left(\frac{N}{2}+1\right)\text{ème valeur de la série}}{2} où ici N2=20\frac{N}{2}=20
    Me=20 eˋme valeur de la seˊrie+21 eˋme valeur de la seˊrie2Me=\frac{\text{20 ème valeur de la série} + \text{21 ème valeur de la série}}{2}
    La 2020ème valeur de la série est : 2020.
    La 2121ème valeur de la série est : 2222.
    Ainsi :
    Me=20+222=21Me=\frac{20+22}{2}=21

    La médiane est la plus petite valeur de la série telle qu‘au moins 50%50\% des données soient inférieures à MeMe.
    Autrement dit , il y a au moins 50%50\% des clients qui ont un âge inférieur ou égal à 2121 ans.
    Question 7

    Représenter la boite à moustache de cette série.

    Correction