Exercices types : $$3$$^ème partie - Exercice 1

Pour la classe de Seconde $$A$$, l'effectif total vaut : $$3+1+4+6+4+5+2+1=26$$ .
$$\overline{x_{A} }=\frac{4\times 3+5\times 1+7\times 4+9\times 6+12\times 4+14\times 5+15\times 2+17\times 1}{26}$$
$$\overline{x_{A} }=\frac{264}{26}$$
$$\overline{x_{A} }=\frac{132}{13}$$
Il en résulte que :
$$V_{A} =\frac{\left(4-\frac{132}{13} \right)^{2} \times 3+\left(5-\frac{132}{13} \right)^{2} \times 1+\left(7-\frac{132}{13} \right)^{2} \times 4+\left(9-\frac{132}{13} \right)^{2} \times 6+\ldots +\left(15-\frac{132}{13} \right)^{2}\times 2+\left(17-\frac{132}{13} \right)^{2}\times 1}{26}$$
$$V_{A} =\frac{\left(\frac{4802}{13} \right)}{26}$$
$$V_{A} =\frac{2401}{169}$$
Finalement : arrondi à $$10^{-2}$$ près.
$$\sigma_{A} =\sqrt{V}$$
$$\sigma_{A} =\sqrt{\frac{2401}{169} }$$
arrondi à $$10^{-2}$$ près.

Pour la classe de Seconde $$B$$, l'effectif total vaut : $$3+4+4+3+1+2+4+4=25$$ .
$$\overline{x_{B} }=\frac{4\times 3+5\times 4+7\times 4+9\times 3+12\times 1+14\times 2+15\times 4+17\times 4}{25}$$
$$\overline{x_{B} }=\frac{255}{25}$$
Il en résulte que :
$$V_{B} =\frac{\left(4-10,2\right)^{2} \times 3+\left(5-10,2\right)^{2} \times 4+\left(7-10,2\right)^{2} \times 4+\ldots +\left(15-10,2\right)^{2} \times 4+\left(17-10,2\right)^{2} \times 4}{25}$$
$$V_{B} =\frac{578}{25}$$
Finalement : .
$$\sigma_{B} =\sqrt{V_{B}}$$
$$\sigma_{B} =\sqrt{23,12 }$$
arrondi à $$10^{-2}$$ près.

La moyenne de la seconde $$A$$ est $$\overline{x_{A} }\approx 10,15$$ alors que la moyenne de la seconde $$B$$ est $$\overline{x_{B} }=10,2$$ . On peut dire que la classe seconde $$B$$ a de meilleurs résultats en moyenne.
L'écart-type de la seconde $$A$$ vaut $$\sigma_{A} \approx3,77$$ alors que l'écart-type de la seconde $$B$$ est $$\sigma_{B} \approx4,81$$ . L'écart type de la seconde $$B$$ étant le plus élevé, on peut dire que la classe seconde $$B$$ a des notes moins régulières ( plus dispersés ) que celle de la seconde $$A$$ .

Pour la classe $$A$$, nous avons $$\overline{x_{A} }\approx 10,15$$ et $$\sigma_{A} \approx3,77$$ ainsi :
$$\left[\overline{x_{A} }-\sigma_{A} ;\overline{x_{A} }+\sigma_{A} \right]=\left[10,15-3,77 ;10,15+3,77 \right]$$
$$\left[\overline{x_{A} }-\sigma_{A} ;\overline{x_{A} }+\sigma_{A} \right]=\left[6,38 ;13,92\right]$$
Les élèves de la classe $$A$$ ont $$4+6+4=14$$ notes dans l'intervalle $$\left[6,38 ;13,92\right]$$ soit une proportion de $$\frac{14}{26}\approx0,54$$ autrement dit $$54\%$$ .
La classe Seconde $$A$$ ne vérifient pas sur cette évaluation les critères de l'inspection académique.

Pour la classe $$B$$, nous avons $$\overline{x_{B} }=10,2$$ et $$\sigma_{B} \approx4,81$$ ainsi :
$$\left[\overline{x_{B} }-\sigma_{B} ;\overline{x_{B} }+\sigma_{B} \right]=\left[10,2-4,81 ;10,2+4,81 \right]$$
$$\left[\overline{x_{B} }-\sigma_{B} ;\overline{x_{B} }+\sigma_{B} \right]=\left[5,39 ;15,01\right]$$
Les élèves de la classe $$B$$ ont $$4+3+1+2+4=14$$ notes dans l'intervalle $$\left[5,39 ;15,01\right]$$ soit une proportion de $$\frac{14}{25}\approx0,56$$ autrement dit $$56\%$$ .
La classe Seconde $$A$$ ne vérifient pas sur cette évaluation les critères de l'inspection académique.