Exercices types : $$2$$^ème partie - Exercice 1

La population étudiée ici : les boules de billard.

Le caractère observé : le diamètre des boules de billard.

Nous savons que l'effectif total est $$N=40$$. Il vient alors que :
$$\overline{x}=\frac{4,5\times1+4,6\times 1+4,7\times 4+4,8\times 9+4,9\times 10+5\times 5+5,1\times 4+5,2\times 2+5,3\times 3+5,4\times 1}{40}$$
$$\overline{x}=\frac{197,2}{40}$$
.

D'après la question $$4$$, nous voyons bien que $$4,93\in\left[4,88;5,12\right]$$.
La machine est donc bien réglée.

Nous allons dans un premier temps rajouter la ligne des effectifs cumulés croissant.
Pour déterminer la médiane, on commence par calculer $$\frac{N}{2} =\frac{40}{2}$$ ce qui donne $$\frac{N}{2} =20$$.
Comme $$N$$ est pair, on agit de la sorte.
On indique que la médiane $$Me$$ correspond à :
$$Me=\frac{\left(\frac{N}{2}\right)\text{ème valeur de la série} + \left(\frac{N}{2}+1\right)\text{ème valeur de la série}}{2}$$ où ici $$\frac{N}{2}=20$$
$$Me=\frac{\text{20 ème valeur de la série} + \text{21 ème valeur de la série}}{2}$$
La $$20$$^ème valeur de la série est : $$4,9$$.
La $$21$$^ème valeur de la série est : $$4,9$$.
Ainsi :
Autrement dit , il y a au moins $$50\%$$ des boules de billard qui ont un diamètre inférieures ou égale à $$4,9$$ cm.

Nous savons que $$N=40$$

Pour déterminer le $$1$$^er quartile, on commence par calculer $$\frac{N}{4} =\frac{40}{4}$$ ce qui donne $$\frac{N}{4} =10$$.

Le $$1$$^er quartile, noté $$Q_{1}$$, correspond à la $$10$$^ème valeur de la série ordonnée (on arrondi toujours $$\frac{N}{4}$$ par excès si son écriture est décimal).
Ainsi : .
(Dans la ligne des ECC on recherche la valeur $$10$$ si elle n'apparait pas on prend la valeur supérieur ici on prend $$15$$ et donc cela correspond à $$4,8$$ cm)

Pour déterminer le $$3$$^ème quartile, on commence par calculer $$\frac{3N}{4} =\frac{3\times40}{4}$$ ce qui donne $$\frac{3N}{4} =30$$.

Le $$3$$^ème quartile, noté $$Q_{3}$$, correspond à la $$30$$^ème valeur de la série ordonnée (on arrondi toujours $$\frac{3N}{4}$$ par excès si son écriture est décimal).
Ainsi : .
(Dans la ligne des ECC on recherche la valeur $$30$$ et ici nous avons bien la valeur $$30$$ et donc cela correspond à $$5$$ cm)

Nous allons reprendre le tableau initial et nous avons mis en couleurs les diamètres appartenant au classes souhaitées. Il vient alors que :

La classe modale correspond à la classe qui dispose du plus grand effectif.
Ici, la classe modale est alors : $$\left[4,8;5,1\right[$$

Nous allons reproduire le tableau qui utilise les classes et nous allons y référencer le centre de la classe afin de faire le calcul du diamètre moyen.
$$\overline{x^{'}}=\frac{4,65\times6+4,95\times 24+5,25\times 10}{40}$$
$$\overline{x^{'}}=\frac{199,2}{40}$$
.