Exercices types : $2$^ème partie

La population étudiée ici : les boules de billard.

Le caractère observé : le diamètre des boules de billard.

Nous savons que l'effectif total est $N=40$. Il vient alors que :
$\overline{x}=\frac{4,5\times1+4,6\times 1+4,7\times 4+4,8\times 9+4,9\times 10+5\times 5+5,1\times 4+5,2\times 2+5,3\times 3+5,4\times 1}{40}$
$\overline{x}=\frac{197,2}{40}$
.

D'après la question $4$, nous voyons bien que $4,93\in\left[4,88;5,12\right]$.
La machine est donc bien réglée.

Nous allons dans un premier temps rajouter la ligne des effectifs cumulés croissant.
Pour déterminer la médiane, on commence par calculer $\frac{N}{2} =\frac{40}{2}$ ce qui donne $\frac{N}{2} =20$.
Comme $N$ est pair, on agit de la sorte.
On indique que la médiane $Me$ correspond à :
$Me=\frac{\left(\frac{N}{2}\right)\text{ème valeur de la série} + \left(\frac{N}{2}+1\right)\text{ème valeur de la série}}{2}$ où ici $\frac{N}{2}=20$
$Me=\frac{\text{20 ème valeur de la série} + \text{21 ème valeur de la série}}{2}$
La $20$^ème valeur de la série est : $4,9$.
La $21$^ème valeur de la série est : $4,9$.
Ainsi :
Autrement dit , il y a au moins $50\%$ des boules de billard qui ont un diamètre inférieures ou égale à $4,9$ cm.

Nous savons que $N=40$

Pour déterminer le $1$^er quartile, on commence par calculer $\frac{N}{4} =\frac{40}{4}$ ce qui donne $\frac{N}{4} =10$.

Le $1$^er quartile, noté $Q_{1}$, correspond à la $10$^ème valeur de la série ordonnée (on arrondi toujours $\frac{N}{4}$ par excès si son écriture est décimal).
Ainsi : .
(Dans la ligne des ECC on recherche la valeur $10$ si elle n'apparait pas on prend la valeur supérieur ici on prend $15$ et donc cela correspond à $4,8$ cm)

Pour déterminer le $3$^ème quartile, on commence par calculer $\frac{3N}{4} =\frac{3\times40}{4}$ ce qui donne $\frac{3N}{4} =30$.

Le $3$^ème quartile, noté $Q_{3}$, correspond à la $30$^ème valeur de la série ordonnée (on arrondi toujours $\frac{3N}{4}$ par excès si son écriture est décimal).
Ainsi : .
(Dans la ligne des ECC on recherche la valeur $30$ et ici nous avons bien la valeur $30$ et donc cela correspond à $5$ cm)

Nous allons reprendre le tableau initial et nous avons mis en couleurs les diamètres appartenant au classes souhaitées. Il vient alors que :

La classe modale correspond à la classe qui dispose du plus grand effectif.
Ici, la classe modale est alors : $\left[4,8;5,1\right[$

Nous allons reproduire le tableau qui utilise les classes et nous allons y référencer le centre de la classe afin de faire le calcul du diamètre moyen.
$\overline{x^{'}}=\frac{4,65\times6+4,95\times 24+5,25\times 10}{40}$
$\overline{x^{'}}=\frac{199,2}{40}$
.

Nous avons compléter sur la boire à moustache les informations demandées. Nous pouvons lire que :

$1$^er quartile : $Q_{1}=10$

$3$^ème quartile : $Q_{3}=13$

Médiane : $Me=12$

Ecart interquartile : $Q_{3}-Q_{1}=13-10=3$

Note minimale : $4$

Note maximale : $15$

$\text{étendue}=15-4$

La proposition est FAUSSE.
La médiane est de $12$ donc la moitié des élèves ont une note en dessous de $12$.

La proposition est VRAIE.
Nous savons que $Q_{1}=10$ et $Q_{3}=13$ . La moitié des valeurs d’une série sont comprises entre $Q_{1}$ et $Q_{3}$ .

La proposition est FAUSSE.
Nous savons que l'effectif de la classe est $N=26$. Ici, $N$ est pair.
Commençons par calculer $\frac{N}{2}=\frac{26}{2}=13$.
Comme $N$ est pair, on agit de la sorte.
On indique que la médiane $Me$ correspond à :
$Me=\frac{\left(\frac{N}{2}\right)\text{ème valeur de la série} + \left(\frac{N}{2}+1\right)\text{ème valeur de la série}}{2}$ où ici $\frac{N}{2}=13$
$Me=\frac{\text{13 ème valeur de la série} + \text{14 ème valeur de la série}}{2}$

La proposition est VRAIE.
$Q_{1}=10$ . Les quartiles appartiennent nécessairement à la série.