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Exercices types : 22ème partie - Exercice 1

35 min
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Une machine est programmée pour fabriquer des boules de billard dont le diamètre doit être de 55 cm . Pour cela, l'opérateur règle la machine sur cette valeur. On observe toutefois les variations dans les diamètres de boules de billard. Un échantillon de 4040 boules est prélevé afin de contrôler la machine. Les résultats sont dans le tableau suivant :
Question 1

Quelle est la population étudiée?

Correction
La population étudiée ici : les boules de billard.
Question 2

Quel est le caractère observé?

Correction
Le caractère observé : le diamètre des boules de billard.
Question 3

Quelle est l'étendue de cette série?

Correction
  • L’étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur d’une série statistique.
    • eˊtendue=5,4−4,5\text{étendue}=5,4-4,5
    eˊtendue=0,9\text{étendue}=0,9
    Question 4

    Calculer le diamètre moyen x‾\overline{x}.

    Correction
    La moyenne d'une série statistique est le réel, noté x‾\overline{x}, tel que :
    x‾=n1x1+n2x2+n3x3+…+npxpN\overline{x}=\frac{n_{1} x_{1} +n_{2} x_{2} +n_{3} x_{3} +\ldots +n_{p} x_{p} }{N}
    Nous savons que l'effectif total est N=40N=40. Il vient alors que :
    x‾=4,5×1+4,6×1+4,7×4+4,8×9+4,9×10+5×5+5,1×4+5,2×2+5,3×3+5,4×140\overline{x}=\frac{4,5\times1+4,6\times 1+4,7\times 4+4,8\times 9+4,9\times 10+5\times 5+5,1\times 4+5,2\times 2+5,3\times 3+5,4\times 1}{40}
    x‾=197,240\overline{x}=\frac{197,2}{40}
    x‾=4,93\overline{x}=4,93
    .
    Question 5

    Si la machine est bien réglée, la moyenne des diamètres d'un échantillon d'effectif 4040 doit appartenir à l'intervalle [4,88;5,12]\left[4,88;5,12\right]. Est ce bien le cas?

    Correction
    D'après la question 44, nous voyons bien que 4,93∈[4,88;5,12]4,93\in\left[4,88;5,12\right].
    La machine est donc bien réglée.
    Question 6

    Quelle est la médiane de cette série? Justifier, puis donner une interprétation concrète de cette valeur.

    Correction
    Nous allons dans un premier temps rajouter la ligne des effectifs cumulés croissant.
    Pour déterminer la médiane, on commence par calculer N2=402\frac{N}{2} =\frac{40}{2} ce qui donne N2=20\frac{N}{2} =20.
    Comme NN est pair, on agit de la sorte.
    On indique que la médiane MeMe correspond à :
    Me=(N2)eˋme valeur de la seˊrie+(N2+1)eˋme valeur de la seˊrie2Me=\frac{\left(\frac{N}{2}\right)\text{ème valeur de la série} + \left(\frac{N}{2}+1\right)\text{ème valeur de la série}}{2} où ici N2=20\frac{N}{2}=20
    Me=20 eˋme valeur de la seˊrie+21 eˋme valeur de la seˊrie2Me=\frac{\text{20 ème valeur de la série} + \text{21 ème valeur de la série}}{2}
    La 2020ème valeur de la série est : 4,94,9.
    La 2121ème valeur de la série est : 4,94,9.
    Ainsi :
    Me=4,9+4,92=4,9Me=\frac{4,9+4,9}{2}=4,9

    La médiane est la plus petite valeur de la série telle qu‘au moins 50%50\% des données soient inférieures à MeMe.
    Autrement dit , il y a au moins 50%50\% des boules de billard qui ont un diamètre inférieures ou égale à 4,94,9 cm.
    Question 7

    Donner les valeurs des quartiles Q1Q_{1} et Q3Q_{3}.

    Correction
    En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.
    Nous savons que N=40N=40
  • Pour déterminer le 11er quartile, on commence par calculer N4=404\frac{N}{4} =\frac{40}{4} ce qui donne N4=10\frac{N}{4} =10.
    • Le 11er quartile, noté Q1Q_{1} , correspond à la 1010ème valeur de la série ordonnée (on arrondi toujours N4\frac{N}{4} par excès si son écriture est décimal).
    Ainsi :
    Q1=4,8Q_{1} =4,8
    .
    (Dans la ligne des ECC on recherche la valeur 1010 si elle n'apparait pas on prend la valeur supérieur ici on prend 1515 et donc cela correspond à 4,84,8 cm)
  • Pour déterminer le 33ème quartile, on commence par calculer 3N4=3×404\frac{3N}{4} =\frac{3\times40}{4} ce qui donne 3N4=30\frac{3N}{4} =30.
    • Le 33ème quartile, noté Q3Q_{3} , correspond à la 3030ème valeur de la série ordonnée (on arrondi toujours 3N4\frac{3N}{4} par excès si son écriture est décimal).
    Ainsi :
    Q3=5Q_{3} =5
    .
    (Dans la ligne des ECC on recherche la valeur 3030 et ici nous avons bien la valeur 3030 et donc cela correspond à 55 cm)
    Question 8

    Construire la boite à moustaches de cette série.

    Correction
    Question 9

    Compléter le tableau suivant : ( en regroupant par classes les valeurs initiales ).

    Correction
    Nous allons reprendre le tableau initial et nous avons mis en couleurs les diamètres appartenant au classes souhaitées.
    Il vient alors que :
    Question 10

    Quelle est la classe modale?

    Correction
    La classe modale correspond à la classe qui dispose du plus grand effectif.
    Ici, la classe modale est alors : [4,8;5,1[\left[4,8;5,1\right[
    Question 11

    En utilisant les regroupements par classes, calculer le diamètre moyen x′‾\overline{x^{'}}

    Correction
    Nous allons reproduire le tableau qui utilise les classes et nous allons y référencer le centre de la classe afin de faire le calcul du diamètre moyen.
    x′‾=4,65×6+4,95×24+5,25×1040\overline{x^{'}}=\frac{4,65\times6+4,95\times 24+5,25\times 10}{40}
    x′‾=199,240\overline{x^{'}}=\frac{199,2}{40}
    x′‾=4,98\overline{x^{'}}=4,98
    .