Exercices types : $1$^ère partie

Dans notre situation :

pour le premier sous-groupe nous avons : $m_{1}=10$ et $N_{1}=42\;000$

pour le deuxième sous-groupe nous avons : $m_{2}=6$ et $N_{2}=33\;600$

Il vient alors que :
$\overline{x}=\frac{m_{1} \times N_{1} +m_{2} \times N_{2} }{N_{1} +N_{2} }$
$\overline{x}=\frac{10\times 42\;000+6\times 33\;600}{10+6}$
Ainsi :
La moyenne des salaires annuels de tous les employés est alors de $38\;850$ € .

Les licenciés de l'association sportive correspondent à la population étudiée.

Le caractère étudié est le nombres de médailles.

Il vient alors que :
$\overline{x}=\frac{0\times 210+1\times 30+2\times 5+3\times 205+4\times 40+5\times 10}{210+30+5+205+40+10}$
$\overline{x}=\frac{865}{500}$
.

Donc ici le mode est $0$.

Nous reprenons le tableau avec les effectifs cumulés croissants. On note $N=500$
Pour déterminer le $1$^er quartile, on commence par calculer $\frac{N}{4} =\frac{500}{4}$ ce qui donne $\frac{N}{4} =125$.
Le $1$^er quartile, noté $Q_{1}$, correspond à la $125$^ème valeur de la série ordonnée (on arrondi toujours $\frac{N}{4}$ par excès si son écriture est décimal).
Ainsi : .
(Dans la ligne des ECC on recherche la valeur $125$ si elle n'apparait pas on prend la valeur supérieur ici on prend $210$ et donc cela correspond à $0$ médailles)

Nous reprenons le tableau avec les effectifs cumulés croissants. On note $N=500$
Pour déterminer le $3$^ème quartile, on commence par calculer $\frac{3N}{4} =\frac{3\times500}{4}$ ce qui donne $\frac{3N}{4} =375$.
Le $3$^ème quartile, noté $Q_{3}$, correspond à la $375$^ème valeur de la série ordonnée (on arrondi toujours $\frac{3N}{4}$ par excès si son écriture est décimal).
Ainsi : .
(Dans la ligne des ECC on recherche la valeur $375$ si elle n'apparait pas on prend la valeur supérieur ici on prend $450$ et donc cela correspond à $3$ médailles)

Nous allons compléter le tableau en intégrant les effectifs cumulés croissants. Il vient alors que :
Pour déterminer la médiane, on commence par calculer $\frac{N}{2} =\frac{500}{2}$ ce qui donne $\frac{N}{2} =250$.
Comme $N$ est pair, on agit de la sorte.
On indique que la médiane $Me$ correspond à :
$Me=\frac{\left(\frac{N}{2}\right)\text{ème valeur de la série} + \left(\frac{N}{2}+1\right)\text{ème valeur de la série}}{2}$ où ici $\frac{N}{2}=250$
$Me=\frac{\text{250 ème valeur de la série} + \text{251 ème valeur de la série}}{2}$
La $250$^ème valeur de la série est : $3$.
La $251$^ème valeur de la série est : $3$.
Ainsi :

$e=Q_{3}-Q_{1}$ d'où :
$e=3-0$
Ainsi :

L'effectif total est $N=76+92+84+184+176+100+52+32+4$ soit .

Il vient alors que :
$\overline{x}=\frac{0\times 76+1\times 92+2\times 84+3\times 184+4\times 176+5\times 100+6\times 52+7\times 32+8\times 4}{800}$
$\overline{x}=\frac{2584}{800}$

$712$ élèves ont au maximum $5$ absences dans le trimestre.

On redonne le tableau avec les effectifs cumulés croissants :
On note $N=800$
Pour déterminer le $1$^er quartile, on commence par calculer $\frac{N}{4} =\frac{800}{4}$ ce qui donne $\frac{N}{4} =200$.
Le $1$^er quartile, noté $Q_{1}$, correspond à la $200$^ème valeur de la série ordonnée (on arrondi toujours $\frac{N}{4}$ par excès si son écriture est décimal).
Ainsi : .
(Dans la ligne des ECC on recherche la valeur $200$ si elle n'apparait pas on prend la valeur supérieur ici on prend $252$ et donc cela correspond à $2$ absences)

On redonne le tableau avec les effectifs cumulés croissants :
On note $N=800$
Pour déterminer le $3$^ème quartile, on commence par calculer $\frac{3N}{4} =\frac{3\times800}{4}$ ce qui donne $\frac{3N}{4} =600$.
Le $3$^ème quartile, noté $Q_{3}$, correspond à la $600$^ème valeur de la série ordonnée (on arrondi toujours $\frac{3N}{4}$ par excès si son écriture est décimal).
Ainsi : .
(Dans la ligne des ECC on recherche la valeur $600$ si elle n'apparait pas on prend la valeur supérieur ici on prend $612$ et donc cela correspond à $4$ absences)

On redonne le tableau avec les effectifs cumulés croissants :
Pour déterminer la médiane, on commence par calculer $\frac{N}{2} =\frac{800}{2}$ ce qui donne $\frac{N}{2} =400$.
Comme $N$ est pair, on agit de la sorte.
Puis on indique que la médiane $Me$ correspond à :
$Me=\frac{\left(\frac{N}{2}\right)\text{ème valeur de la série} + \left(\frac{N}{2}+1\right)\text{ème valeur de la série}}{2}$ où ici $\frac{N}{2}=400$
$Me=\frac{\text{400 ème valeur de la série} + \text{401 ème valeur de la série}}{2}$
La $400$^ème valeur de la série est : $3$.
La $401$^ème valeur de la série est : $3$.
Ainsi :

Le nombre d'élèves ayant au moins $5$ absences est : $100+52+32+4=188$
Ainsi :
$\frac{188}{800}\times100=23,5$
Le pourcentage d'élèves ayant au moins $5$ absences est de $23,5\%$.

On va commencer par définir les effectifs cumulés croissants (ECC).
On note $N=62$
Pour déterminer le $1$^er quartile, on commence par calculer $\frac{N}{4} =\frac{62}{4}$ ce qui donne $\frac{N}{4} =15,5$.
Le $1$^er quartile, noté $Q_{1}$, correspond à la $16$^ème valeur de la série ordonnée (on arrondi toujours $\frac{N}{4}$ par excès si son écriture est décimal).
Ainsi : .
(Dans la ligne des ECC on recherche la valeur $16$ si elle n'apparait pas on prend la valeur supérieur ici on prend $18$ et donc cela correspond à $20$ tonnes )

Pour déterminer le $3$^ème quartile, on commence par calculer $\frac{3N}{4} =\frac{3\times62}{4}$ ce qui donne $\frac{3N}{4} =46,5$.
Le $3$^ème quartile, noté $Q_{3}$, correspond à la $47$^ème valeur de la série ordonnée (on arrondi toujours $\frac{N}{4}$ par excès si son écriture est décimal).
Ainsi : .
(Dans la ligne des ECC on recherche la valeur $47$ si elle n'apparait pas on prend la valeur supérieur ici on prend $51$ et donc cela correspond à $24$ tonnes )

Pour déterminer la médiane, on commence par calculer $\frac{N}{2} =\frac{62}{2}$ ce qui donne $\frac{N}{2} =31$.
Ici, $N=62$ est pair, donc on n'écrira pas que la médiane, notée $Me$, correspond à la $31$^ème valeur de la série ordonnée.
Dans le cas où $N$ est pair, on agit de la sorte.
On calcule $\frac{N}{2} =31$.
Puis on indique que la médiane correspond à :
$Me=\frac{\left(\frac{N}{2}\right)\text{ème valeur de la série} + \left(\frac{N}{2}+1\right)\text{ème valeur de la série}}{2}$ où ici $\frac{N}{2}=31$
$Me=\frac{\text{31ème valeur de la série} + \text{32ème valeur de la série}}{2}$
La $31$^ème valeur de la série est : $21$.
La $32$^ème valeur de la série est : $22$.
Ainsi :

En $2016$, au moins $25\%$ des ruches ont produit $25$ tonnes de pommes ou plus car le troisième quartile de la série en $2016$ est $Q_{3} =25$.
En $2016$, au moins $50\%$ des ruches ont produit $20$ tonnes de pommes ou moins car la médiane de la série en $2016$ est $Me =20$.