Résoudre des problèmes avec des multiples et des diviseurs - Exercice 1

15 min
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Un fleuriste dispose de 252252 roses et de 180180 tulipes. Il veut réaliser des bouquets tous identiques (même nombre de roses et même nombre de tulipes dans chaque bouquet), en utilisant toutes ses fleurs.
Question 1

Peut-il réaliser 1212 bouquets ? Si oui, préciser la composition de chaque bouquet.

Correction
Pour réaliser 1212 bouquets identiques avec toutes les fleurs, il faut que 1212 divise à la fois 252252 et 180180 .
Or 252=12×21252=12\times 21 et 180=12×15180=12\times 15 .
Oui : il peut réaliser 1212 bouquets, composés chacun de 2121 roses et de 1515 tulipes.
Question 2

Peut-il réaliser 2424 bouquets ?

Correction
  • Effectuer la division euclidienne de l'entier naturel aa par l'entier naturel non nul bb, c'est écrire a=b×q+ra=b\times q+r, où le quotient qq et le reste rr sont des entiers naturels, avec 0≤r<b0\leq r\lt b.
  • aa est un multiple de bb si et seulement si le reste rr est nul.
La division euclidienne de 252252 par 2424 donne 252=24×10+12252=24\times 10+12 : le reste n'est pas nul, donc 2424 ne divise pas 252252 .
Non : il ne peut pas réaliser 2424 bouquets identiques.
Question 3

Décomposer 252252 et 180180 en produits de facteurs premiers.

Correction
252=2×126=2×2×63=2×2×3×21=2×2×3×3×7252={\color{red}2}\times 126={\color{red}2}\times {\color{red}2}\times 63={\color{red}2}\times {\color{red}2}\times {\color{blue}3}\times 21={\color{red}2}\times {\color{red}2}\times {\color{blue}3}\times {\color{blue}3}\times 7
252=22×32×7252=2^{2}\times 3^{2}\times 7

180=2×90=2×2×45=2×2×3×15=2×2×3×3×5180={\color{red}2}\times 90={\color{red}2}\times {\color{red}2}\times 45={\color{red}2}\times {\color{red}2}\times {\color{blue}3}\times 15={\color{red}2}\times {\color{red}2}\times {\color{blue}3}\times {\color{blue}3}\times 5
180=22×32×5180=2^{2}\times 3^{2}\times 5
Question 4

En déduire le nombre maximal de bouquets qu'il peut réaliser, ainsi que la composition de chaque bouquet.

Correction
Le nombre de bouquets doit être un diviseur commun de 252252 et de 180180 . Le plus grand diviseur commun s'obtient en prenant tous les facteurs premiers communs aux deux décompositions :
22×32=362^{2}\times 3^{2}=36 .
Alors 252=36×7252=36\times 7 et 180=36×5180=36\times 5 .
Il peut réaliser au maximum 3636 bouquets, composés chacun de 77 roses et de 55 tulipes.

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