Rendre une fraction irréductible - Exercice 1

1°) Décomposons $$420$$ en produit de facteurs premiers :
On cherche les diviseurs premiers de $$420$$ dans l'ordre croissant :
$$420$$ est divisible par $$2$$ (c'est un nombre pair) ainsi : $$420={\color{red}2}\times 210$$
$$210$$ est divisible par $$2$$ (c'est un nombre pair) ainsi : $$420={\color{red}2}\times {\color{red}2}\times 105$$
$$105$$ n'est pas divisible par $$2$$ (il est impair), mais il est divisible par $$3$$ (car $$1+0+5=6$$ est dans la table de $$3$$) ainsi : $$420={\color{red}2}\times {\color{red}2}\times {\color{blue}3}\times 35$$
$$35$$ n'est pas divisible par $$3$$ (car $$3+5=8$$ n'est pas dans la table de $$3$$), mais il est divisible par $$5$$ (il se termine par $$5$$) ainsi : $$420={\color{red}2}\times {\color{red}2}\times {\color{blue}3}\times {\color{purple}5}\times 7$$
$$7$$ est un nombre premier, donc la décomposition de $$420$$ en produit de facteurs premiers est alors :
$$420={\color{red}2}\times {\color{red}2}\times {\color{blue}3}\times {\color{purple}5}\times {\color{green}7}$$ que l'on écrit : $$\boxed{420={\color{red}2}^{{\color{red}2}}\times {\color{blue}3}\times {\color{purple}5}\times {\color{green}7}}$$
2°) Décomposons $$945$$ en produit de facteurs premiers :
On cherche les diviseurs premiers de $$945$$ dans l'ordre croissant :
$$945$$ n'est pas divisible par $$2$$ (il est impair), mais il est divisible par $$3$$ (car $$9+4+5=18$$ est dans la table de $$3$$) ainsi : $$945={\color{blue}3}\times 315$$
$$315$$ est divisible par $$3$$ (car $$3+1+5=9$$ est dans la table de $$3$$) ainsi : $$945={\color{blue}3}\times {\color{blue}3}\times 105$$
$$105$$ est divisible par $$3$$ (car $$1+0+5=6$$ est dans la table de $$3$$) ainsi : $$945={\color{blue}3}\times {\color{blue}3}\times {\color{blue}3}\times 35$$
$$35$$ n'est pas divisible par $$3$$ (car $$3+5=8$$ n'est pas dans la table de $$3$$), mais il est divisible par $$5$$ (il se termine par $$5$$) ainsi : $$945={\color{blue}3}\times {\color{blue}3}\times {\color{blue}3}\times {\color{purple}5}\times 7$$
$$7$$ est un nombre premier, donc la décomposition de $$945$$ en produit de facteurs premiers est alors :
$$945={\color{blue}3}\times {\color{blue}3}\times {\color{blue}3}\times {\color{purple}5}\times {\color{green}7}$$ que l'on écrit : $$\boxed{945={\color{blue}3}^{{\color{blue}3}}\times {\color{purple}5}\times {\color{green}7}}$$
3°) Simplifions la fraction :
$$\dfrac{420}{945}=\dfrac{2\times 2\times 3\times 5\times 7}{3\times 3\times 3\times 5\times 7}$$ $$\;\;\;$$ Ici, on remplace chaque nombre par sa décomposition en produit de facteurs premiers.
$$\dfrac{420}{945}=\dfrac{2\times 2\times {\color{red}\cancel{3}}\times {\color{red}\cancel{5}}\times {\color{red}\cancel{7}}}{{\color{red}\cancel{3}}\times 3\times 3\times {\color{red}\cancel{5}}\times {\color{red}\cancel{7}}}$$ $$\;\;\;$$ Ici, on simplifie par les facteurs communs (barrés en rouge), car la fraction n'est composée que de multiplications.
$$\dfrac{420}{945}=\dfrac{2\times 2}{3\times 3}$$

1°) Décomposons $$360$$ en produit de facteurs premiers :
On cherche les diviseurs premiers de $$360$$ dans l'ordre croissant :
$$360$$ est divisible par $$2$$ (c'est un nombre pair) ainsi : $$360={\color{red}2}\times 180$$
$$180$$ est divisible par $$2$$ (c'est un nombre pair) ainsi : $$360={\color{red}2}\times {\color{red}2}\times 90$$
$$90$$ est divisible par $$2$$ (c'est un nombre pair) ainsi : $$360={\color{red}2}\times {\color{red}2}\times {\color{red}2}\times 45$$
$$45$$ n'est pas divisible par $$2$$ (il est impair), mais il est divisible par $$3$$ (car $$4+5=9$$ est dans la table de $$3$$) ainsi : $$360={\color{red}2}\times {\color{red}2}\times {\color{red}2}\times {\color{blue}3}\times 15$$
$$15$$ est divisible par $$3$$ (car $$1+5=6$$ est dans la table de $$3$$) ainsi : $$360={\color{red}2}\times {\color{red}2}\times {\color{red}2}\times {\color{blue}3}\times {\color{blue}3}\times 5$$
$$5$$ est un nombre premier, donc la décomposition de $$360$$ en produit de facteurs premiers est alors :
$$360={\color{red}2}\times {\color{red}2}\times {\color{red}2}\times {\color{blue}3}\times {\color{blue}3}\times {\color{purple}5}$$ que l'on écrit : $$\boxed{360={\color{red}2}^{{\color{red}3}}\times {\color{blue}3}^{{\color{blue}2}}\times {\color{purple}5}}$$
2°) Décomposition de $$420$$ :
Elle a été faite à la question 1 : $$\boxed{420={\color{red}2}^{{\color{red}2}}\times {\color{blue}3}\times {\color{purple}5}\times {\color{green}7}}$$
3°) Simplifions la fraction :
$$\dfrac{360}{420}=\dfrac{2\times 2\times 2\times 3\times 3\times 5}{2\times 2\times 3\times 5\times 7}$$ $$\;\;\;$$ Ici, on remplace chaque nombre par sa décomposition en produit de facteurs premiers.
$$\dfrac{360}{420}=\dfrac{{\color{red}\cancel{2}}\times {\color{red}\cancel{2}}\times 2\times {\color{red}\cancel{3}}\times 3\times {\color{red}\cancel{5}}}{{\color{red}\cancel{2}}\times {\color{red}\cancel{2}}\times {\color{red}\cancel{3}}\times {\color{red}\cancel{5}}\times 7}$$ $$\;\;\;$$ Ici, on simplifie par les facteurs communs (barrés en rouge), car la fraction n'est composée que de multiplications.
$$\dfrac{360}{420}=\dfrac{2\times 3}{7}$$

1°) Décomposons $$858$$ en produit de facteurs premiers :
On cherche les diviseurs premiers de $$858$$ dans l'ordre croissant :
$$858$$ est divisible par $$2$$ (c'est un nombre pair) ainsi : $$858={\color{red}2}\times 429$$
$$429$$ n'est pas divisible par $$2$$ (il est impair), mais il est divisible par $$3$$ (car $$4+2+9=15$$ est dans la table de $$3$$) ainsi : $$858={\color{red}2}\times {\color{blue}3}\times 143$$
$$143$$ n'est divisible ni par $$3$$ (car $$1+4+3=8$$ n'est pas dans la table de $$3$$), ni par $$5$$ (il ne se termine ni par $$0$$ ni par $$5$$), ni par $$7$$ (car $$143=7\times 20+3$$), mais il est divisible par $$11$$ (car $$143\div 11=13$$) ainsi : $$858={\color{red}2}\times {\color{blue}3}\times {\color{orange}11}\times 13$$
$$13$$ est un nombre premier, donc la décomposition de $$858$$ en produit de facteurs premiers est alors :
$$\boxed{858={\color{red}2}\times {\color{blue}3}\times {\color{orange}11}\times {\color{teal}13}}$$
2°) Décomposons $$1\;001$$ en produit de facteurs premiers :
On cherche les diviseurs premiers de $$1\;001$$ dans l'ordre croissant :
$$1\;001$$ n'est divisible ni par $$2$$ (il est impair), ni par $$3$$ (car $$1+0+0+1=2$$ n'est pas dans la table de $$3$$), ni par $$5$$ (il ne se termine ni par $$0$$ ni par $$5$$), mais il est divisible par $$7$$ (car $$1\;001\div 7=143$$) ainsi : $$1\;001={\color{green}7}\times 143$$
$$143$$ n'est pas divisible par $$7$$ (car $$143=7\times 20+3$$), mais il est divisible par $$11$$ (car $$143\div 11=13$$) ainsi : $$1\;001={\color{green}7}\times {\color{orange}11}\times 13$$
$$13$$ est un nombre premier, donc la décomposition de $$1\;001$$ en produit de facteurs premiers est alors :
$$\boxed{1\;001={\color{green}7}\times {\color{orange}11}\times {\color{teal}13}}$$
3°) Simplifions la fraction :
$$\dfrac{858}{1\;001}=\dfrac{2\times 3\times 11\times 13}{7\times 11\times 13}$$ $$\;\;\;$$ Ici, on remplace chaque nombre par sa décomposition en produit de facteurs premiers.
$$\dfrac{858}{1\;001}=\dfrac{2\times 3\times {\color{red}\cancel{11}}\times {\color{red}\cancel{13}}}{7\times {\color{red}\cancel{11}}\times {\color{red}\cancel{13}}}$$ $$\;\;\;$$ Ici, on simplifie par les facteurs communs (barrés en rouge), car la fraction n'est composée que de multiplications.
$$\dfrac{858}{1\;001}=\dfrac{2\times 3}{7}$$

1°) Décomposons $$224$$ en produit de facteurs premiers :
On cherche les diviseurs premiers de $$224$$ dans l'ordre croissant :
$$224$$ est divisible par $$2$$ (c'est un nombre pair) ainsi : $$224={\color{red}2}\times 112$$
$$112$$ est divisible par $$2$$ (c'est un nombre pair) ainsi : $$224={\color{red}2}\times {\color{red}2}\times 56$$
$$56$$ est divisible par $$2$$ (c'est un nombre pair) ainsi : $$224={\color{red}2}\times {\color{red}2}\times {\color{red}2}\times 28$$
$$28$$ est divisible par $$2$$ (c'est un nombre pair) ainsi : $$224={\color{red}2}\times {\color{red}2}\times {\color{red}2}\times {\color{red}2}\times 14$$
$$14$$ est divisible par $$2$$ (c'est un nombre pair) ainsi : $$224={\color{red}2}\times {\color{red}2}\times {\color{red}2}\times {\color{red}2}\times {\color{red}2}\times 7$$
$$7$$ est un nombre premier, donc la décomposition de $$224$$ en produit de facteurs premiers est alors :
$$224={\color{red}2}\times {\color{red}2}\times {\color{red}2}\times {\color{red}2}\times {\color{red}2}\times {\color{green}7}$$ que l'on écrit : $$\boxed{224={\color{red}2}^{{\color{red}5}}\times {\color{green}7}}$$
2°) Décomposition de $$360$$ :
Elle a été faite à la question 2 : $$\boxed{360={\color{red}2}^{{\color{red}3}}\times {\color{blue}3}^{{\color{blue}2}}\times {\color{purple}5}}$$
3°) Simplifions la fraction :
$$\dfrac{224}{360}=\dfrac{2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 7}{2\times 2\times 2\times 3\times 3\times 5}$$ $$\;\;\;$$ Ici, on remplace chaque nombre par sa décomposition en produit de facteurs premiers.
$$\dfrac{224}{360}=\dfrac{{\color{red}\cancel{2}}\times {\color{red}\cancel{2}}\times {\color{red}\cancel{2}}\times 2\times 2\times 7}{{\color{red}\cancel{2}}\times {\color{red}\cancel{2}}\times {\color{red}\cancel{2}}\times 3\times 3\times 5}$$ $$\;\;\;$$ Ici, on simplifie par les facteurs communs (barrés en rouge), car la fraction n'est composée que de multiplications.
$$\dfrac{224}{360}=\dfrac{2\times 2\times 7}{3\times 3\times 5}$$

Les nombres $$\boxed{28={\color{red}2}^{{\color{red}2}}\times {\color{green}7}}$$ et $$\boxed{45={\color{blue}3}^{{\color{blue}2}}\times {\color{purple}5}}$$ n'ont plus de facteur premier commun : la fraction est bien irréductible.