Raisonner avec les entiers : contre-exemple, réciproque, contraposée - Exercice 1

Soient $$x$$ et $$y$$ deux multiples de $$7$$. On peut alors écrire que $$x=7k$$ et $$y=7k'$$ avec $$k$$ et $$k'$$ des entiers relatifs c'est-à-dire que $$k\in \mathbb{Z}$$ et $$k'\in \mathbb{Z}$$ .
Ainsi :
$$x+y={\color{blue}7}k+{\color{blue}7}k'$$ . On factorise par $${\color{blue}7}$$.
$$x+y={\color{blue}7}\left(k+k'\right)$$ . Or nous savons que $$k\in \mathbb{Z}$$ et $$k'\in \mathbb{Z}$$ donc $$\left(k+k'\right)\in \mathbb{Z}$$ .
On introduit alors un entier relatif $$K$$ tel que $$K=k+k'$$ . Il en résulte donc que :
L'affirmation est vraie : la somme de deux multiples de $$7$$ est un multiple de $$7$$.

Les nombres $$2$$ et $$3$$ sont premiers, et $$2+3=5$$ est impair.

Remarque : la somme de deux nombres premiers impairs est bien paire, mais $$2$$ est un nombre premier pair.

Soient $$n$$ et $$m$$ deux entiers impairs. On peut alors écrire que $$n=2k+1$$ et $$m=2p+1$$ avec $$k\in \mathbb{Z}$$ et $$p\in \mathbb{Z}$$ .
Ainsi :
$$n\times m=\left(2k+1\right)\left(2p+1\right)$$
$$n\times m=4kp+2k+2p+1$$
$$n\times m={\color{blue}2}\times 2kp+{\color{blue}2}k+{\color{blue}2}p+1$$ . On factorise par $${\color{blue}2}$$.
$$n\times m={\color{blue}2}\left(2kp+k+p\right)+1$$ . Or nous savons que $$k\in \mathbb{Z}$$ et $$p\in \mathbb{Z}$$ donc $$\left(2kp+k+p\right)\in \mathbb{Z}$$ .
Il en résulte que $${\color{blue}2}\left(2kp+k+p\right)$$ est pair et comme nous ajoutons $$1$$, $$n\times m$$ est impair.

Le nombre $$12$$ est divisible par $$4$$ et par $$6$$ : $$12=4\times 3$$ et $$12=6\times 2$$ .
Mais $$12$$ n'est pas divisible par $$24$$ : $$12=24\times 0+12$$ , le reste n'est pas nul.

$$\red{\text{Attention}}$$ : on ne peut pas multiplier les diviseurs $$4$$ et $$6$$, car ils ont le facteur $$2$$ en commun.

Pour $$n=0$$ , $$n=1$$ , $$n=2$$ , on obtient $$41$$ , $$43$$ et $$47$$ , qui sont premiers. On peut même vérifier que l'on obtient un nombre premier pour chaque entier de $$0$$ à $$39$$ : mais des exemples ne suffisent pas !
Pour $$n=40$$ :
$$40^{2}+40+41=1\;600+40+41=1\;681$$ .
Or $$40^{2}+40+41=40\times 40+40+41=40\times 41+41=41\times 41$$ .
Donc $$1\;681=41\times 41$$ : il est divisible par $$41$$, il n'est pas premier.