Nombres entiers et nombres premiers : arithmétique

Exercices types : 11ère partie - Exercice 2

10 min
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Question 1

Montrer que si nn est pair alors 6n+56n+5 est impair .

Correction
Soit nn un entier pair. On peut alors écrire que n=2kn=2k avec kk un entier relatif c'est à dire que kZk\in \mathbb{Z} .
Nous allons remplacer dans 6n+56n+5 le nn par n=2kn=2k .
Ce qui nous donne :
6n+5=6×2k+56n+5=6\times 2k+5
6n+5=6×2k+4+16n+5=6\times 2k+4+1 . En effet, on peut écrire que 5=4+15=4+1 .
6n+5=6×2k+2×2+16n+5=6\times 2k+2\times2+1
6n+5=6×2k+2×2+16n+5=6\times {\color{blue}2}k+{\color{blue}2}\times2+1 . On factorise par 2{\color{blue}2}.
6n+5=2×(6×k+2)+16n+5={\color{blue}2}\times\left(6\times k+2\right)+1
Il en résulte donc que 2×(6×k+2){\color{blue}2}\times\left(6\times k+2\right) est pair et comme nous ajoutons 11, il vient alors que 2×(6×k+2)+1{\color{blue}2}\times\left(6\times k+2\right)+1 est impair.
De ce fait, si nn est pair alors 6n+56n+5 est impair .