Exercices types : $$1$$^ère partie - Exercice 1

Soit $$p$$ un nombre premier quelconque différent de $$2$$
L'expression $$p^{2}-1$$ nous rappelle une identité remarquable.

Il vient alors que :
$$p^{2}-1=\left(p-1\right)\left(p+1\right)$$
Or on rappelle que $$p$$ est un nombre premier différent de $$2$$ .
$$p$$ est alors divisible par $$1$$ et par lui même.
Il en résulte donc que $$p$$ est $$\red{\text{obligatoirement}}$$ un nombre impair dans notre situation. En effet, $$\red{\text{le seul}}$$ nombre pair premier est $$2$$.
Dans ce cas ;
$$p$$ étant impair alors $$p-1$$ est pair . Autrement dit, $$p-1=2k$$ où $$\left( k\in \mathbb{Z} \right)$$
$$p$$ étant impair alors $$p+1$$ est pair . Autrement dit, $$p+1=2k'$$ où $$\left( k'\in \mathbb{Z} \right)$$
Il s'ensuit que :
$$\left(p-1\right)\left(p+1\right)=2k \times 2k'$$
$$\left(p-1\right)\left(p+1\right)=4\times k \times k'$$
$$p^{2}-1=\red{4}\times k \times k'$$
Finalement :
Quels que soit le nombre premier choisi le résultat $$p^{2}-1$$ est un multiple de $$4$$ .