Démontrer qu'un nombre est premier ou non - Exercice 1

10 min

Question 1

Le nombre $1273$ est-il premier ?

Correction

Les nombres premiers inférieurs à

100

sont :

$2$ , $3$ , $5$ , $7$ , $11$ , $13$ , $17$ , $19$ , $23$ , $29$ , $31$ , $37$ , $41$ , $43$ , $47$ , $53$ , $59$ , $61$ , $67$ , $71$ , $73$ , $79$ , $83$ , $89$ et $97$ .

Pour savoir si un nombre

N

est premier :

On effectue la division euclidienne de $N$ par tous les entiers premiers inférieurs ou égaux à $\sqrt{N}$ .

Dans un premier temps, calculons

\sqrt{1273}\approx33,2

. L'entier premier qui précède

\sqrt{1273}

est

31

Dans notre situation, on effectue la division euclidienne de

1273

par tous les entiers premiers inférieurs ou égaux à

\sqrt{1273}

c'est à dire

31

Il vient alors :

1273=636\times2 +1

1273=424\times3 +1

1273=254\times5 +3

1273=181\times7 +6

1273=115\times11 +8

1273=97\times13 +12

1273=74\times17 +15

1273=67\times19 +0

. Ici le reste est nul , cela signifie donc que

1273

est divisible par

19

.
Donc

1273

n'est pas premier.

Question 2

Correction

Les nombres premiers inférieurs à

100

sont :

$2$ , $3$ , $5$ , $7$ , $11$ , $13$ , $17$ , $19$ , $23$ , $29$ , $31$ , $37$ , $41$ , $43$ , $47$ , $53$ , $59$ , $61$ , $67$ , $71$ , $73$ , $79$ , $83$ , $89$ et $97$ .

Pour savoir si un nombre

N

est premier :

On effectue la division euclidienne de $N$ par tous les entiers premiers inférieurs ou égaux à $\sqrt{N}$ .

Dans un premier temps, calculons

\sqrt{227}\approx15,06

. L'entier premier qui précède

\sqrt{227}

est

13

Dans notre situation, on effectue la division euclidienne de

227

par tous les entiers premiers inférieurs ou égaux à

\sqrt{227}

c'est à dire

13

Il vient alors :

227=113\times2 +1

227=75\times3 +2

227=45\times5 +2

227=32\times7 +3

227=20\times11 +7

227=17\times13 +6

Donc

227

est bien un nombre premier.

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