Compter les diviseurs, et une infinité de nombres premiers - Exercice 1

Chaque case contient le produit de la puissance de $$2$$ de sa colonne par la puissance de $$3$$ de sa ligne. Par exemple, pour $$a=2$$ et $$b=1$$ : $$2^{2}\times 3^{1}=4\times 3=12$$ .

Il y en a $$12$$ : $$4$$ choix pour l'exposant $$a$$ , multipliés par $$3$$ choix pour l'exposant $$b$$ , soit $$4\times 3=12$$ .

De la même façon, les diviseurs positifs de $$360$$ sont les nombres $$2^{a}\times 3^{b}\times 5^{c}$$ , avec $$4$$ choix pour $$a$$ (de $$0$$ à $$3$$ ), $$3$$ choix pour $$b$$ (de $$0$$ à $$2$$ ) et $$2$$ choix pour $$c$$ ( $$0$$ ou $$1$$ ).
$$4\times 3\times 2=24$$

D'après le raisonnement précédent, le nombre de diviseurs est le produit des exposants de la décomposition, chacun augmenté de $$1$$ . On veut obtenir $$6$$ , et $$6=6$$ ou $$6=3\times 2$$ :
soit le nombre s'écrit $$p^{5}$$ avec $$p$$ premier : le plus petit est $$2^{5}=32$$ ;
soit il s'écrit $$p^{2}\times q$$ avec $$p$$ et $$q$$ premiers distincts : le plus petit est $$2^{2}\times 3=12$$ .
Avec trois facteurs premiers distincts ou plus, on aurait au moins $$2\times 2\times 2=8$$ diviseurs.

Vérification : les diviseurs de $$12$$ sont $$1$$ , $$2$$ , $$3$$ , $$4$$ , $$6$$ et $$12$$ .