Nombres entiers et nombres premiers : arithmétique

Apprendre à démontrer - Exercice 3

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Question 1

Démontrer que la somme d'un multiple de 66 et d'un multiple de 9 est également un multiple de 33 .

Correction
Soient nn un multiple de 66 et mm un multiple de 99 . On peut alors écrire que n=6kn=6k et m=9pm=9p avec kk et pp des entiers relatifs c'est à dire que kZk\in \mathbb{Z} et pZp\in \mathbb{Z} .
Ainsi :
m+n=6k+9pm+n=6k+9p
m+n=3×2k+3×3pm+n={\color{blue}3}\times 2k+{\color{blue}3}\times 3p . On factorise par 3{\color{blue}3}.
m+n=3(2k+3p)m+n={\color{blue}3}\left(2k+3p\right) .     \;\; Or nous savons que kZk\in \mathbb{Z} et pZp\in \mathbb{Z} donc (2k+3p)Z\left(2k+3p\right)\in \mathbb{Z} .
La somme n+mn+m est donc bien un multiple de 3{\color{blue}3}.