D'après les hypothèses,
n−1 est un multiple de
3. Cela signifie qu'il existe un entier naturel
k tel que
n−1=3k ce qui nous permet d'écrire que
n=3k+1 .
Calculons maintenant
n2−1 en substituant
n par
3k+1. Il vient alors que :
n2−1=(3k+1)2−1 n2−1=(3k)2+2×3k×1+12−1 n2−1=9k2+6k+1−1 n2−1=9k2+6k n2−1=3×3×k2+3×2×k . Nous allors factoriser l'expression par
3 .
n2−1=3(3k2+2k) Comme
k∈N alors
(3k2+2k)∈N . On peut alors poser
q=3k2+2k o\`{u}
q∈N .
Ainsi :
Il en résulte donc que
n2−1 est également un entier naturel multiple de
3.