Apprendre à démontrer - Exercice 1

Soient $$n$$ et $$m$$ deux entiers pairs. On peut alors écrire que $$n=2k$$ et $$m=2p$$ avec $$k$$ et $$p$$ des entiers relatifs c'est à dire que $$k\in \mathbb{Z}$$ et $$p\in \mathbb{Z}$$ .
Ainsi :
$$n+m={\color{blue}2}k+{\color{blue}2}p$$ . On factorise par $${\color{blue}2}$$.
$$n+m={\color{blue}2}\left(k+p\right)$$ . Or nous savons que $$k\in \mathbb{Z}$$ et $$p\in \mathbb{Z}$$ donc $$\left(k+p\right)\in \mathbb{Z}$$ .
La somme $$n+m$$ est donc divisible par $${\color{blue}2}$$. Nous pouvons également dire que $${\color{blue}2}$$ divise $$n+m$$ .
De ce fait, la somme de deux nombres pairs est paire.

Soient $$n$$ et $$m$$ deux entiers impairs. On peut alors écrire que $$n=2k+1$$ et $$m=2p+1$$ avec $$k$$ et $$p$$ des entiers relatifs c'est à dire que $$k\in \mathbb{Z}$$ et $$p\in \mathbb{Z}$$ .
Ainsi :
$$n+m=2k+1+2p+1$$
$$n+m={\color{blue}2}k+{\color{blue}2}p+{\color{blue}2}$$ . On factorise par $${\color{blue}2}$$.
$$n+m={\color{blue}2}\left(k+p+1\right)$$ . Or nous savons que $$k\in \mathbb{Z}$$ et $$p\in \mathbb{Z}$$ donc $$\left(k+p+1\right)\in \mathbb{Z}$$ .
La somme $$n+m$$ est donc divisible par $${\color{blue}2}$$. Nous pouvons également dire que $${\color{blue}2}$$ divise $$n+m$$ .
De ce fait, la somme de deux nombres impairs est paire.

Soient $$n$$ et $$m$$ deux entiers pairs. On peut alors écrire que $$n=2k$$ et $$m=2p$$ avec $$k$$ et $$p$$ des entiers relatifs c'est à dire que $$k\in \mathbb{Z}$$ et $$p\in \mathbb{Z}$$ .
Ainsi :
$$n-m={\color{blue}2}k-{\color{blue}2}p$$ . On factorise par $${\color{blue}2}$$.
$$n-m={\color{blue}2}\left(k-p\right)$$ . Or nous savons que $$k\in \mathbb{Z}$$ et $$p\in \mathbb{Z}$$ donc $$\left(k-p\right)\in \mathbb{Z}$$ .
La différence $$n-m$$ est donc divisible par $${\color{blue}2}$$. Nous pouvons également dire que $${\color{blue}2}$$ divise $$n-m$$ .
De ce fait, la différence de deux nombres pairs est paire.

Soient $$n$$ et $$m$$ deux entiers impairs. On peut alors écrire que $$n=2k+1$$ et $$m=2p+1$$ avec $$k$$ et $$p$$ des entiers relatifs c'est à dire que $$k\in \mathbb{Z}$$ et $$p\in \mathbb{Z}$$ .
Ainsi :
$$n-m=2k+1-\left(2p+1\right)$$
$$n-m=2k+1-2p-1$$
$$n-m={\color{blue}2}k-{\color{blue}2}p$$ . On factorise par $${\color{blue}2}$$.
$$n-m={\color{blue}2}\left(k-p\right)$$ . Or nous savons que $$k\in \mathbb{Z}$$ et $$p\in \mathbb{Z}$$ donc $$\left(k-p\right)\in \mathbb{Z}$$ .
La différence $$n-m$$ est donc divisible par $${\color{blue}2}$$. Nous pouvons également dire que $${\color{blue}2}$$ divise $$n-m$$ .
De ce fait, la différence de deux nombres impairs est paire.

Soient $$n$$ un entier impair et $$m$$ un entier pair. On peut alors écrire que $$n=2k+1$$ et $$m=2p$$ avec $$k$$ et $$p$$ des entiers relatifs c'est à dire que $$k\in \mathbb{Z}$$ et $$p\in \mathbb{Z}$$ .
Ainsi :
$$n-m=2k+1-2p$$
$$n-m={\color{blue}2}k-{\color{blue}2}p+1$$ . On factorise par $${\color{blue}2}$$.
$$n-m={\color{blue}2}\left(k-p\right)+1$$ . Or nous savons que $$k\in \mathbb{Z}$$ et $$p\in \mathbb{Z}$$ donc $$\left(k-p\right)\in \mathbb{Z}$$ .
Il en résulte donc que $${\color{blue}2}\left(k-p\right)$$ est pair et comme nous ajoutons $$1$$, il vient alors que $${\color{blue}2}\left(k-p\right)+1$$ est impair.
De ce fait, la différence d'un nombre impair et d'un nombre pair est impaire.

Soit $$n$$ un entier pair . On peut alors écrire que $$n=2k$$ avec $$k$$ un entier relatif c'est à dire que $$k\in \mathbb{Z}$$ .
Ainsi :
$$n^{2} =\left(2k\right)^{2}$$
$$n^{2} =4k^{2}$$
$$n^{2} ={\color{blue}2}\times\left(2k^{2} \right)$$
Le nombre $${\color{blue}2}\times\left(2k^{2}\right)$$ est pair car c'est un multiple de $${\color{blue}2}$$ .
Nous pouvons alors conclure que si $$n$$ est pair, alors $$n^{2}$$ est pair .

Soit $$n$$ un entier impair . On peut alors écrire que $$n=2k+1$$ avec $$k$$ un entier relatif c'est à dire que $$k\in \mathbb{Z}$$ .
Ainsi :
$$n^{2} =\left(2k+1\right)^{2}$$
$$n^{2} =\left(2k\right)^{2} +2\times 2k\times 1+1^{2}$$
$$n^{2} =4k^{2} +4k+1$$
$$n^{2} ={\color{blue}2}\times\left(2k^{2} +2k\right)+1$$
Le nombre $${\color{blue}2}\times\left(2k^{2} +2k\right)$$ est pair car c'est un multiplie de $${\color{blue}2}$$ . Nous ajoutons $$1$$ à l'expression et de ce fait $$n^{2} =2\left(2k^{2} +2k\right)+1$$ devient impair.
Nous pouvons alors conclure que si $$n$$ est impair, alors $$n^{2}$$ est impair .