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Apprendre à démontrer - Exercice 1

20 min
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Question 1

Démontrer que la somme de deux nombres pairs est paire.

Correction
Soient nn et mm deux entiers pairs. On peut alors écrire que n=2kn=2k et m=2pm=2p avec kk et pp des entiers relatifs c'est à dire que kZk\in \mathbb{Z} et pZp\in \mathbb{Z} .
Ainsi :
n+m=2k+2pn+m={\color{blue}2}k+{\color{blue}2}p . On factorise par 2{\color{blue}2}.
n+m=2(k+p)n+m={\color{blue}2}\left(k+p\right) . Or nous savons que kZk\in \mathbb{Z} et pZp\in \mathbb{Z} donc (k+p)Z\left(k+p\right)\in \mathbb{Z} .
La somme n+mn+m est donc divisible par 2{\color{blue}2}. Nous pouvons également dire que 2{\color{blue}2} divise n+mn+m .
De ce fait, la somme de deux nombres pairs est paire.
Question 2

Démontrer que la somme de deux nombres impairs est paire.

Correction
Soient nn et mm deux entiers impairs. On peut alors écrire que n=2k+1n=2k+1 et m=2p+1m=2p+1 avec kk et pp des entiers relatifs c'est à dire que kZk\in \mathbb{Z} et pZp\in \mathbb{Z} .
Ainsi :
n+m=2k+1+2p+1n+m=2k+1+2p+1
n+m=2k+2p+2n+m={\color{blue}2}k+{\color{blue}2}p+{\color{blue}2} . On factorise par 2{\color{blue}2}.
n+m=2(k+p+1)n+m={\color{blue}2}\left(k+p+1\right) . Or nous savons que kZk\in \mathbb{Z} et pZp\in \mathbb{Z} donc (k+p+1)Z\left(k+p+1\right)\in \mathbb{Z} .
La somme n+mn+m est donc divisible par 2{\color{blue}2}. Nous pouvons également dire que 2{\color{blue}2} divise n+mn+m .
De ce fait, la somme de deux nombres impairs est paire.
Question 3

Démontrer que la différence de deux nombres pairs est paire.

Correction
Soient nn et mm deux entiers pairs. On peut alors écrire que n=2kn=2k et m=2pm=2p avec kk et pp des entiers relatifs c'est à dire que kZk\in \mathbb{Z} et pZp\in \mathbb{Z} .
Ainsi :
nm=2k2pn-m={\color{blue}2}k-{\color{blue}2}p . On factorise par 2{\color{blue}2}.
nm=2(kp)n-m={\color{blue}2}\left(k-p\right) . Or nous savons que kZk\in \mathbb{Z} et pZp\in \mathbb{Z} donc (kp)Z\left(k-p\right)\in \mathbb{Z} .
La différence nmn-m est donc divisible par 2{\color{blue}2}. Nous pouvons également dire que 2{\color{blue}2} divise nmn-m .
De ce fait, la différence de deux nombres pairs est paire.
Question 4

Démontrer que la différence de deux nombres impairs est paire.

Correction
Soient nn et mm deux entiers impairs. On peut alors écrire que n=2k+1n=2k+1 et m=2p+1m=2p+1 avec kk et pp des entiers relatifs c'est à dire que kZk\in \mathbb{Z} et pZp\in \mathbb{Z} .
Ainsi :
nm=2k+1(2p+1)n-m=2k+1-\left(2p+1\right)
nm=2k+12p1n-m=2k+1-2p-1
nm=2k2pn-m={\color{blue}2}k-{\color{blue}2}p . On factorise par 2{\color{blue}2}.
nm=2(kp)n-m={\color{blue}2}\left(k-p\right) . Or nous savons que kZk\in \mathbb{Z} et pZp\in \mathbb{Z} donc (kp)Z\left(k-p\right)\in \mathbb{Z} .
La différence nmn-m est donc divisible par 2{\color{blue}2}. Nous pouvons également dire que 2{\color{blue}2} divise nmn-m .
De ce fait, la différence de deux nombres impairs est paire.
Question 5

Démontrer que la différence d'un nombre impair et d'un nombre pair est impaire.

Correction
Soient nn un entier impair et mm un entier pair. On peut alors écrire que n=2k+1n=2k+1 et m=2pm=2p avec kk et pp des entiers relatifs c'est à dire que kZk\in \mathbb{Z} et pZp\in \mathbb{Z} .
Ainsi :
nm=2k+12pn-m=2k+1-2p
nm=2k2p+1n-m={\color{blue}2}k-{\color{blue}2}p+1 . On factorise par 2{\color{blue}2}.
nm=2(kp)+1n-m={\color{blue}2}\left(k-p\right)+1 . Or nous savons que kZk\in \mathbb{Z} et pZp\in \mathbb{Z} donc (kp)Z\left(k-p\right)\in \mathbb{Z} .
Il en résulte donc que 2(kp){\color{blue}2}\left(k-p\right) est pair et comme nous ajoutons 11, il vient alors que 2(kp)+1{\color{blue}2}\left(k-p\right)+1 est impair.
De ce fait, la différence d'un nombre impair et d'un nombre pair est impaire.
Question 6

Démontrer que si nn est pair, alors n2n^{2} est pair .

Correction
Soit nn un entier pair . On peut alors écrire que n=2kn=2k avec kk un entier relatif c'est à dire que kZk\in \mathbb{Z} .
Ainsi :
n2=(2k)2n^{2} =\left(2k\right)^{2}
n2=4k2n^{2} =4k^{2}
n2=2×(2k2)n^{2} ={\color{blue}2}\times\left(2k^{2} \right)
Le nombre 2×(2k2){\color{blue}2}\times\left(2k^{2}\right) est pair car c'est un multiple de 2{\color{blue}2} .
Nous pouvons alors conclure que si nn est pair, alors n2n^{2} est pair .
Question 7

Démontrer que si nn est impair, alors n2n^{2} est impair .

Correction
Soit nn un entier impair . On peut alors écrire que n=2k+1n=2k+1 avec kk un entier relatif c'est à dire que kZk\in \mathbb{Z} .
Ainsi :
n2=(2k+1)2n^{2} =\left(2k+1\right)^{2}
n2=(2k)2+2×2k×1+12n^{2} =\left(2k\right)^{2} +2\times 2k\times 1+1^{2}
n2=4k2+4k+1n^{2} =4k^{2} +4k+1
n2=2×(2k2+2k)+1n^{2} ={\color{blue}2}\times\left(2k^{2} +2k\right)+1
Le nombre 2×(2k2+2k){\color{blue}2}\times\left(2k^{2} +2k\right) est pair car c'est un multiplie de 2{\color{blue}2} . Nous ajoutons 11 à l'expression et de ce fait n2=2(2k2+2k)+1n^{2} =2\left(2k^{2} +2k\right)+1 devient impair.
Nous pouvons alors conclure que si nn est impair, alors n2n^{2} est impair .