Soit
n un entier impair . On peut alors écrire que
n=2k+1 avec
k un entier relatif c'est à dire que
k∈Z .
Ainsi :
n2=(2k+1)2 n2=(2k)2+2×2k×1+12 n2=4k2+4k+1 n2=2×(2k2+2k)+1Le nombre
2×(2k2+2k) est pair car c'est un multiplie de
2 . Nous ajoutons
1 à l'expression et de ce fait
n2=2(2k2+2k)+1 devient impair.
Nous pouvons alors conclure que si
n est impair, alors
n2 est impair .