Intervalle de fluctuation et intervalle de confiance

Comment contruire un intervalle de fluctuation - Exercice 3

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Question 1
C'est la fête de l'école de votre petit cousin. La loterie annonce que 75%75\% des billets sont gagnants. Vous faites votre petite enquête et vous avez comptez 5858 billets gagnants sur 102102 vendus.

Calculer la fréquence ff des billets gagnants dans l'échantillon de taille 102102. Arrondir le résultat à 10−310^{-3} près.

Correction
La fréquence ff des billets gagnants dans l'échantillon de taille 102102 est :
f=58102f=\frac{58}{102}
f=0,569f=0,569
Question 2

Déterminer l'intervalle de fluctuation lié à la proportion pp de billets de gagnants au seuil de 95%95\%.

Correction
  • Pour une proportion pp comprise entre 0,20,2 et 0,80,8 et des échantillons de taille n≥25n\ge25, l'intervalle I=[p−1n;p+1n]I=\left[p-\frac{1}{\sqrt{n}};p+\frac{1}{\sqrt{n}}\right] est un intervalle de fluctuation au seuil de 95%95\% de la fréquence ff observée.
On a ici : p=0,75p=0,75 ainsi 0,2≤p≤0,80,2\le p\le 0,8 et n=102≥25n=102\ge25. Donc les conditions sont vérifiées pour construire un intervalle de fluctuation.
Il vient alors que :
I=[p−1n;p+1n]I=\left[p-\frac{1}{\sqrt{n}};p+\frac{1}{\sqrt{n}}\right] équivaut successivement à :
I=[0,75−1102;0,75+1102]I=\left[0,75-\frac{1}{\sqrt{102}};0,75+\frac{1}{\sqrt{102}}\right]
I=[0,65;0,85]I=\left[0,65;0,85\right]

Ici 0,650,65 est une valeur approchée par défaut de 0,75−11020,75-\frac{1}{\sqrt{102}}
Ici 0,850,85 est une valeur approchée par excès de 0,75+11020,75+\frac{1}{\sqrt{102}}
Question 3

La publicité de la loterie était-elle mensongère?

Correction
Comme f=0,569f=0,569 n'appartient pas à l'intervalle de fluctuation I=[0,65;0,85]I=\left[0,65;0,85\right], on peut considérer que la publicité de la loterie est bien mensongère.