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Intervalle de fluctuation et intervalle de confiance

Comment contruire un intervalle de fluctuation - Exercice 2

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Question 1
Une célèbre marque de gâteaux affirme que 25%25\% des collégiens consomment leur produit à leur du goûter. Pour vérifier cette affirmation, on interroge 703703 collégiens. 110110 déclarent effectivement prendre leur goûter avec des gâteaux de la marque.

Déterminer la fréquence, à 10−210^{-2} près, des collégiens consommant les gâteaux de la marque dans l'échantillon de taille 703703.

Correction
La fréquence des collégiens consommant les gâteaux de la marque dans l'échantillon de taille 703703 est :
f=110703f=\frac{110}{703}
f=0,14f=0,14
Question 2

Déterminer un intervalle de fluctuation au seuil de 95%95\% de la fréquence des personnes ayant regardé la série dans l'échantillon de taille 703703.

Correction
  • Pour une proportion pp comprise entre 0,20,2 et 0,80,8 et des échantillons de taille n≥25n\ge25, l'intervalle I=[p−1n;p+1n]I=\left[p-\frac{1}{\sqrt{n}};p+\frac{1}{\sqrt{n}}\right] est un intervalle de fluctuation au seuil de 95%95\% de la fréquence ff observée.
On a ici : p=0,25p=0,25 ainsi 0,2≤p≤0,80,2\le p\le 0,8 et n=703≥25n=703\ge25. Donc les conditions sont vérifiées pour construire un intervalle de fluctuation.
Il vient alors que :
I=[p−1n;p+1n]I=\left[p-\frac{1}{\sqrt{n}};p+\frac{1}{\sqrt{n}}\right] équivaut successivement à :
I=[0,25−1703;0,25+1703]I=\left[0,25-\frac{1}{\sqrt{703}};0,25+\frac{1}{\sqrt{703}}\right]
I=[0,21;0,29]I=\left[0,21;0,29\right]

Ici 0,210,21 est une valeur approchée par défaut de 0,25−17030,25-\frac{1}{\sqrt{703}}
Ici 0,290,29 est une valeur approchée par excès de 0,25+17030,25+\frac{1}{\sqrt{703}}
Question 3

Peut-on considérer comme exacte l'affirmation de la marque de gâteaux.

Correction
Comme f=0,14f=0,14 n'appartient pas à l'intervalle de fluctuation I=[0,21;0,29]I=\left[0,21;0,29\right], on peut considérer que la célèbre marque ne dit pas vraie...