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Exercices types DS - Exercice 1

15 min

Un téléphone nouvelle génération IThone

11

valait

800

euros le

1

^er septembre. Il coûte

920

euros le

1

^er novembre et au

1

^er février il augmente de

5\%

Question 1

Quel est le pourcentage d'évolution du prix de ce téléphone entre le $1$ ^er septembre et le $1$ ^er novembre?

Correction

V_{0}

V_{1}

Le taux d’évolution de cette grandeur est égal à $\frac{V_{1} -V_{0} }{V_{0} }$
En pourcentage, le taux d’évolution se note $t\%$ avec $t=\frac{V_{1} -V_{0} }{V_{0} }\times100$
Si $t > 0$ , il s’agit d’une augmentation.
Si $t < 0$ , il s’agit d’une diminution.

La valeur initiale $V_{0}$ vaut ici $800$ .
La valeur finale $V_{1}$ vaut ici $920$ .

Il vient alors que :

t=\frac{V_{1} -V_{0} }{V_{0} }\times100

équivaut successivement à :

t=\frac{920-800 }{800 }\times100

t=15\%

Le prix du téléphone a donc augmenté de

15\%

entre le

1

^er septembre et le

1

^er novembre.

Question 2

Quel est le pourcentage d'évolution du prix de ce téléphone entre le $1$ ^er septembre et le $1$ ^er février?

Correction

D'après la question

1

, nous savons que le prix du téléphone a augmenté de

15\%

entre le

1

^er septembre et le

1

^er novembre.
De plus, entre le

1

^er novembre et le

1

^er février, le téléphone a augmenté de

5\%

Si une grandeur subit des évolutions successives (augmentation ou diminution), le coefficient multiplicateur global (correspondant au taux global d’évolution) est le produit des coefficients multiplicateurs de chaque évolution.

Soit

t

le taux global d'évolution recherché.

Le coefficient multiplicateur associée à une augmentation de

15\%

est :

1+\frac{15}{100}=1,15

Le coefficient multiplicateur associée à une augmentation de

5\%

est :

1+\frac{5}{100}=1,05

Il en résulte donc que :

1+\frac{t}{100} =1,15\times 1,05

1+\frac{t}{100} =1,2075

\frac{t}{100} =1,2075-1

\frac{t}{100} =0,2075

t=0,2075\times 100

t=20,75\%

Le taux d’évolution global est de

t=20,75\%

c'est à dire qu'une augmentation de

15\%

suivi d'une deuxième de

5\%

correspond à une augmentation globale de

20,75\%

Question 3

Quel pourcentage de diminution faut-il appliquer au prix du $1$ ^er février pour retrouver le prix du $1$ ^er septembre? Donner un arrondi à $10^{-3}$ près.

Correction

D'après la question

2

, nous savons que le téléphone a augmenté de

20,75\%

entre le

1

^er septembre et le

1

^er février.
Nous cherchons donc ici le taux d'évolution réciproque afin de revenir au prix initial du

1

^er septembre.

Soient $V_{0}$ la valeur initiale d’une grandeur, $V_{1}$ la valeur de cette grandeur après une évolution relative de $t\%$ .
Soit $t'\%$ l'évolution réciproque d'une évolution $t\%$ .
Pour déterminer la valeur du taux réciproque $t'\%$ , il nous faut résoudre l'équation :
$1+\frac{t'}{100} =\frac{1}{1+\frac{t}{100} }$

Soit

t'\%

l'évolution réciproque d'une augmentation de

20,75\%

Le coefficient multiplicateur associée à une augmentation de

20,75\%

est :

1+\frac{20,75}{100}

Pour trouver la valeur de

t'\%

, il nous faut donc résoudre l'équation :

1+\frac{t'}{100} =\frac{1}{1+\frac{t}{100} }

.
Ainsi :

1+\frac{t'}{100} =\frac{1}{1+\frac{20,75}{100} }

1+\frac{t'}{100} =\frac{1}{1+0,2075}

1+\frac{t'}{100} =\frac{1}{1,2075 }

1+\frac{t'}{100} \approx0,828

\frac{t'}{100} =0,828-1

\frac{t'}{100} =-0,172

t' =-0,172\times100

t' =-17,2\%

Si un prix augmente de

20,75\%

alors son taux réciproque pour revenir au prix initial est une baisse de

17,2\%

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Exercices types DS - Exercice 1

Quel est le pourcentage d'évolution du prix de ce téléphone entre le 111er septembre et le 111er novembre?

Quel est le pourcentage d'évolution du prix de ce téléphone entre le 111er septembre et le 111er février?

Quel pourcentage de diminution faut-il appliquer au prix du 111er février pour retrouver le prix du 111er septembre? Donner un arrondi à 10−310^{-3}10−3 près.

Quel est le pourcentage d'évolution du prix de ce téléphone entre le $1$ ^er septembre et le $1$ ^er novembre?

Quel est le pourcentage d'évolution du prix de ce téléphone entre le $1$ ^er septembre et le $1$ ^er février?

Quel pourcentage de diminution faut-il appliquer au prix du $1$ ^er février pour retrouver le prix du $1$ ^er septembre? Donner un arrondi à $10^{-3}$ près.