Le taux d’évolution de cette grandeur est égal à V0V1−V0
En pourcentage, le taux d’évolution se note t% avec t=V0V1−V0×100
Si t>0, il s’agit d’une augmentation.
Si t<0, il s’agit d’une diminution.
La valeur initiale V0 vaut ici 800.
La valeur finale V1 vaut ici 920.
Il vient alors que : t=V0V1−V0×100 équivaut successivement à : t=800920−800×100
t=15%
Le prix du téléphone a donc augmenté de 15% entre le 1er septembre et le 1er novembre.
2
Quel est le pourcentage d'évolution du prix de ce téléphone entre le 1er septembre et le 1er février?
Correction
D'après la question 1, nous savons que le prix du téléphone a augmenté de 15% entre le 1er septembre et le 1er novembre. De plus, entre le 1er novembre et le 1er février, le téléphone a augmenté de 5%.
Si une grandeur subit des évolutions successives (augmentation ou diminution), le coefficient multiplicateur global (correspondant au taux global d’évolution) est le produit des coefficients multiplicateurs de chaque évolution.
Soit t le taux global d'évolution recherché.
Le coefficient multiplicateur associée à une augmentation de 15% est : 1+10015=1,15
Le coefficient multiplicateur associée à une augmentation de 5% est : 1+1005=1,05
Il en résulte donc que : 1+100t=1,15×1,05 1+100t=1,2075 100t=1,2075−1 100t=0,2075 t=0,2075×100
t=20,75%
Le taux d’évolution global est de t=20,75% c'est à dire qu'une augmentation de 15% suivi d'une deuxième de 5% correspond à une augmentation globale de 20,75%.
3
Quel pourcentage de diminution faut-il appliquer au prix du 1er février pour retrouver le prix du 1er septembre? Donner un arrondi à 10−3 près.
Correction
D'après la question 2, nous savons que le téléphone a augmenté de 20,75% entre le 1er septembre et le 1er février. Nous cherchons donc ici le taux d'évolution réciproque afin de revenir au prix initial du 1er septembre.
Soient V0 la valeur initiale d’une grandeur, V1 la valeur de cette grandeur après une évolution relative de t%.
Soit t′%l'évolution réciproque d'une évolution t% .
Pour déterminer la valeur du taux réciproque t′%, il nous faut résoudre l'équation :
1+100t′=1+100t1
Soit t′%l'évolution réciproque d'une augmentation de 20,75%.
Le coefficient multiplicateur associée à une augmentation de 20,75% est : 1+10020,75
Pour trouver la valeur de t′%, il nous faut donc résoudre l'équation : 1+100t′=1+100t1. Ainsi : 1+100t′=1+10020,751 1+100t′=1+0,20751 1+100t′=1,20751 1+100t′≈0,828 100t′=0,828−1 100t′=−0,172 t′=−0,172×100
t′=−17,2%
Si un prix augmente de 20,75% alors son taux réciproque pour revenir au prix initial est une baisse de 17,2%.
Exercice 2
Le tableau ci-dessous donne l’évolution du cours du pétrole brut d’un mois sur le mois précédent (au dernier jour du mois). Les prix sont en dollars américains.
1
Compléter la ligne des coefficients dans le tableau.
Correction
Augmenter une grandeur de t% revient à multiplier sa valeur initiale par le coefficient multiplicateur1+100t
Diminuer une grandeur de t% revient à multiplier sa valeur initiale par le coefficient multiplicateur1−100t
2
On considère l’indice base 100 en mai. Calculer sur cette base l’indice du cours du pétrole fin juin, juillet puis fin août.
Correction
Il suffit de multiplier l’indice du mois précédent par le coefficient multiplicateur. Pour obtenir l'indice correspondant au mois de juin. Nous effectuons le calcul ci-dessous :
IndiceJuin=100×1,076=107,6
Pour obtenir l'indice correspondant au mois de juillet. Nous effectuons le calcul ci-dessous :
IndiceJuillet=107,6×1,021=108,2456
Pour obtenir l'indice correspondant au mois d'Aout. Nous effectuons le calcul ci-dessous :
IndiceAout=108,2456×0,98=106,08
. Ici, le résultat a été arrondi au centième. Nous complétons le tableau ci-dessous :
3
Quel est le cours du pétrole fin août? Arrondir au centième.
Correction
Ici, il faut penser à faire un produit en croix. Cela nous donne donc :
PrixAout=100109×106,08=115,63
La valeur a été arrondi au centième. Le cours du pétrole au mois d'Aout est alors de 115,63 dollars.
4
Quel devrait-être le pourcentage d’évolution du cours du pétrole en septembre pour que l’indice à la fin du mois reprenne la valeur 100?.
Correction
Plus simplement on peut remarquer que si l’on revient en septembre à l’indice 100 de mai, le cours du pétrole revient donc à celui de mai soit 109 dollars. Nous allons pouvoir calculer le taux d'évolution.
Soit V0 la valeur initiale d’une grandeur et V1 sa valeur finale suite à une évolution.
Le taux d’évolution de cette grandeur est égal à V0V1−V0
En pourcentage, le taux d’évolution se note t% avec t=V0V1−V0×100
Si t>0, il s’agit d’une augmentation.
Si t<0, il s’agit d’une diminution.
La valeur initiale V0 vaut ici 115,63.
La valeur finale V1 vaut ici 109.
Il vient alors que : t=V0V1−V0×100 équivaut successivement à : t=115,63109−115,63×100
t=−5,73%
Le pourcentage d’évolution du cours du pétrole en septembre pour que l’indice à la fin du mois reprenne la valeur 100 est une diminution de 5,73%
Exercice 3
Adam entre aux beaux-arts : il a pour cela besoin d'une table à dessin, d'un chevalet ( acheté d'occasion), de toiles et du nécessaire de peinture. L'ensemble revient à 360 € .
1
Le prix de la table à dessin représente 40% du budget global. Combien coûte la table à dessin?
Correction
L’expression « une grandeur A représente t% de E » se traduit par l’égalité A=E×100t
Il nous faut donc calculer : 360×10040 Ainsi :
360×10040=144
La table à dessin coûte alors 144 € .
2
L'ensemble des toiles coûte 54 €. Quel part du budget global représente l’achat de ces toiles?
Correction
Nous savons que le budget totale de l'ensemble s'élève à 360 €. Cela représente donc 100% du budget. Or les toiles coûtent 54 €. Il nous suffit de faire un produit en croix, comme présenté ci-dessous :
Il vient alors :
36054×100=15
Il en résulte donc que l'ensemble des toiles coûtant 54 € représente 15% du budget total.
3
L'année prochaine, si Adam arrête les beaux-arts, il peut espérer revendre la table à dessin 25% moins cher. Quel prix proposera-il à l’acheteur?
Diminuer une grandeur de t% revient à multiplier sa valeur initiale par le coefficient multiplicateur1−100t
D'après l'énoncé, on déduit que :
La valeur initiale vaut 144
Le coefficient multiplicateur vaut 1−10025=0,75
Il en résulte donc que : Valeur finale=144×0,75
Valeur finale=108
La table à dessin coûtera maintenant 108 euros.
4
Le chevalet, acheté d'occasion, valait 180 euros neuf. Adam l'a acheté 108 euros. Quel est le pourcentage d'évolution du prix du chevalet?
Correction
Soit V0 la valeur initiale d’une grandeur et V1 sa valeur finale suite à une évolution.
Le taux d’évolution de cette grandeur est égal à V0V1−V0
En pourcentage, le taux d’évolution se note t% avec t=V0V1−V0×100
Si t>0, il s’agit d’une augmentation.
Si t<0, il s’agit d’une diminution.
La valeur initiale V0 vaut ici 180.
La valeur finale V1 vaut ici 108.
Il vient alors que : t=V0V1−V0×100 équivaut successivement à : t=180108−180×100
t=−40%
Le prix du chevalet a donc diminué de 40%.
5
Pour plus de sécurité, Adam décide d'acheter un lot de pinceaux supplémentaire. Le marchand lui propose à 21,6 € après une réduction de 20%. Quel est le prix de vente initial du lot de pinceaux?
Diminuer une grandeur de t% revient à multiplier sa valeur initiale par le coefficient multiplicateur1−100t
D'après l'énoncé, on déduit que :
La valeur finale vaut 21,6
Le coefficient multiplicateur vaut 1−10020=0,8
Il en résulte donc que : Valeur initiale=0,821,6
Valeur initiale=27
Avant la diminution, le prix du lot de pinceaux était de 27€.
Exercice 4
1
30% d'un stock de 12000 jouets sont estampillés EU. Déterminer le nombre de jouets EU.
Correction
L’expression « une grandeur A représente t% de E » se traduit par l’égalité A=E×100t
Il nous faut donc calculer : 12000×10030 Ainsi :
12000×10030=3600
Il y a 3600 jouets estampillés EU.
2
Une grande entreprise utilise 40% de produits alimentaires BIO, soit 25000 tonnes. Déterminer la masse totale M de produits alimentaires utilisée par l'entreprise.
Correction
Nous savons que la masse totale M de produits alimentaires utilisée par l'entreprise représente 100%. Or 40% de produits alimentaires BIO correspondent à 25000 tonnes. Il nous suffit de faire un produit en croix, comme présenté ci-dessous :
Il vient alors :
M=4025000×100=62500
Il en résulte donc que la masse totale M de produits alimentaires utilisée par l'entreprise est de 62500 tonnes.
3
La vitesse moyenne sur les routes est passée de 90 km/h à 80 km/h. Calculer le taux d'évolution de la vitesse moyenne. Donner un arrondi à 10−2 près.
Correction
Soit V0 la valeur initiale d’une grandeur et V1 sa valeur finale suite à une évolution.
Le taux d’évolution de cette grandeur est égal à V0V1−V0
En pourcentage, le taux d’évolution se note t% avec t=V0V1−V0×100
Si t>0, il s’agit d’une augmentation.
Si t<0, il s’agit d’une diminution.
La valeur initiale V0 vaut ici 90.
La valeur finale V1 vaut ici 80.
Il vient alors que : t=V0V1−V0×100 équivaut successivement à : t=9080−90×100
t=−11,11%
La vitesse moyenne va diminuer de 11,11%
4
En 2018, on dénombrait 16446 exploitations agricoles engagées en agriculture biologique, soit une augmentation de 32,67% par rapport à 2017. Quel était le nombre de ces exploitations en 2017 ? Arrondir à l'unité près.
Augmenter une grandeur de t% revient à multiplier sa valeur initiale par le coefficient multiplicateur1+100t
D'après l'énoncé, on déduit que :
La valeur finale vaut 16446
Le coefficient multiplicateur vaut 1+10032,67=1,3267
Il en résulte donc que : Valeur initiale=1,326716446
Valeur initiale=12396
Le nombre de ces exploitations en 2017 est alors de 12396.
5
Le prix d'un produit augmente de 12% la première année et connait une baisse de 12% la deuxième année. Déterminer le taux d'évolution globale entre ces deux années.
Correction
Si une grandeur subit des évolutions successives (augmentation ou diminution), le coefficient multiplicateur global (correspondant au taux global d’évolution) est le produit des coefficients multiplicateurs de chaque évolution.
Soit t le taux global d'évolution recherché.
Le coefficient multiplicateur associée à une augmentation de 12% est : 1+10012=1,12
Le coefficient multiplicateur associée à une diminution de 12% est : 1−10012=0,88
Il en résulte donc que : 1+100t=1,12×0,88 1+100t=0,9856 100t=0,9856−1 100t=−0,0144 t=−0,0144×100
t=−1,44%
Le taux d’évolution global est de t=−1,44% c'est à dire qu'une augmentation de 12% suivi d'une diminution de 12% correspond à une diminution de 1,44% entre ces deux années.
6
Le cours d'une action a chuté de 80% en fin d'année 2017. Déterminer le taux d'évolution pour l'année suivante qui permettrait au cours de cette action de revenir à son niveau précédent.
Correction
Soient V0 la valeur initiale d’une grandeur, V1 la valeur de cette grandeur après une évolution relative de t%.
Soit t′%l'évolution réciproque d'une évolution t% .
Pour déterminer la valeur du taux réciproque t′%, il nous faut résoudre l'équation :
1+100t′=1+100t1
Soit t′%l'évolution réciproque d'une diminution de 80%.
Le coefficient multiplicateur associée à une diminution de 80% est : 1−10080
Pour trouver la valeur de t′%, il nous faut donc résoudre l'équation : 1+100t′=1+100t1. Ainsi : 1+100t′=1−100801 . Ici nous faisons bien 1−10080 au dénominateur car nous avons une baisse de 80%. 1+100t′=1−0,81 1+100t′=0,21 1+100t′=5 100t′=5−1 100t′=4 t′=4×100
t′=400%
Si le cours de l'action diminue de 80% alors son taux réciproque pour revenir à son niveau initial est une augmentation de 400%.
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