Exercices types DS

• La valeur initiale $V_{0}$ vaut ici $800$.
• La valeur finale $V_{1}$ vaut ici $920$.

Il vient alors que :
$t=\frac{V_{1} -V_{0} }{V_{0} }\times100$ équivaut successivement à :
$t=\frac{920-800 }{800 }\times100$

Le prix du téléphone a donc augmenté de $15\%$ entre le $1$^er septembre et le $1$^er novembre.

D'après la question $1$, nous savons que le prix du téléphone a augmenté de $15\%$ entre le $1$^er septembre et le $1$^er novembre.
De plus, entre le $1$^er novembre et le $1$^er février, le téléphone a augmenté de $5\%$.
Soit $t$ le taux global d'évolution recherché.

Le coefficient multiplicateur associée à une augmentation de $15\%$ est : $1+\frac{15}{100}=1,15$

Le coefficient multiplicateur associée à une augmentation de $5\%$ est : $1+\frac{5}{100}=1,05$

Il en résulte donc que :
$1+\frac{t}{100} =1,15\times 1,05$
$1+\frac{t}{100} =1,2075$
$\frac{t}{100} =1,2075-1$
$\frac{t}{100} =0,2075$
$t=0,2075\times 100$

Le taux d’évolution global est de $t=20,75\%$ c'est à dire qu'une augmentation de $15\%$ suivi d'une deuxième de $5\%$ correspond à une augmentation globale de $20,75\%$.

D'après la question $2$, nous savons que le téléphone a augmenté de $20,75\%$ entre le $1$^er septembre et le $1$^er février.
Nous cherchons donc ici le taux d'évolution réciproque afin de revenir au prix initial du $1$^er septembre.
Soit $t'\%$ l'évolution réciproque d'une augmentation de $20,75\%$.

Le coefficient multiplicateur associée à une augmentation de $20,75\%$ est : $1+\frac{20,75}{100}$

Pour trouver la valeur de $t'\%$, il nous faut donc résoudre l'équation : $1+\frac{t'}{100} =\frac{1}{1+\frac{t}{100} }$.
Ainsi :
$1+\frac{t'}{100} =\frac{1}{1+\frac{20,75}{100} }$
$1+\frac{t'}{100} =\frac{1}{1+0,2075}$
$1+\frac{t'}{100} =\frac{1}{1,2075 }$
$1+\frac{t'}{100} \approx0,828$
$\frac{t'}{100} =0,828-1$
$\frac{t'}{100} =-0,172$
$t' =-0,172\times100$

Si un prix augmente de $20,75\%$ alors son taux réciproque pour revenir au prix initial est une baisse de $17,2\%$.

Il suffit de multiplier l’indice du mois précédent par le coefficient multiplicateur.
Pour obtenir l'indice correspondant au mois de juin. Nous effectuons le calcul ci-dessous :

Pour obtenir l'indice correspondant au mois de juillet. Nous effectuons le calcul ci-dessous :

Pour obtenir l'indice correspondant au mois d'Aout. Nous effectuons le calcul ci-dessous :
. Ici, le résultat a été arrondi au centième.
Nous complétons le tableau ci-dessous :

Ici, il faut penser à faire un produit en croix.
Cela nous donne donc :
La valeur a été arrondi au centième.
Le cours du pétrole au mois d'Aout est alors de $115,63$ dollars.

Plus simplement on peut remarquer que si l’on revient en septembre à l’indice $100$ de mai, le cours du pétrole revient donc à celui de mai soit $109$ dollars. Nous allons pouvoir calculer le taux d'évolution.

• La valeur initiale $V_{0}$ vaut ici $115,63$.
• La valeur finale $V_{1}$ vaut ici $109$.

Il vient alors que :
$t=\frac{V_{1} -V_{0} }{V_{0} }\times100$ équivaut successivement à :
$t=\frac{109-115,63}{115,63 }\times100$

Le pourcentage d’évolution du cours du pétrole en septembre pour que l’indice à la fin du mois reprenne la valeur $100$ est une diminution de $5,73\%$

Il nous faut donc calculer : $360\times\frac{40}{100}$
Ainsi :
La table à dessin coûte alors $144$ € .

Nous savons que le budget totale de l'ensemble s'élève à $360$ €. Cela représente donc $100\%$ du budget.
Or les toiles coûtent $54$ €. Il nous suffit de faire un produit en croix, comme présenté ci-dessous :
Il vient alors :

Il en résulte donc que l'ensemble des toiles coûtant $54$ € représente $15\%$ du budget total.

Adam a acheté sa table à dessin $144$ €.
D'après l'énoncé, on déduit que :

• La valeur initiale vaut $144$
• Le coefficient multiplicateur vaut $1-\frac{25}{100}=0,75$

Il en résulte donc que :
$\text{Valeur finale}=144\times0,75$

La table à dessin coûtera maintenant $108$ euros.

• La valeur initiale $V_{0}$ vaut ici $180$.
• La valeur finale $V_{1}$ vaut ici $108$.

Il vient alors que :
$t=\frac{V_{1} -V_{0} }{V_{0} }\times100$ équivaut successivement à :
$t=\frac{108-180 }{180 }\times100$

Le prix du chevalet a donc diminué de $40\%$.

D'après l'énoncé, on déduit que :

• La valeur finale vaut $21,6$
• Le coefficient multiplicateur vaut $1-\frac{20}{100}=0,8$

Il en résulte donc que :
$\text{Valeur initiale}=\frac{21,6}{0,8}$

Avant la diminution, le prix du lot de pinceaux était de $27$€.

Il nous faut donc calculer : $12000\times\frac{30}{100}$
Ainsi :
Il y a $3600$ jouets estampillés EU.

Nous savons que la masse totale $M$ de produits alimentaires utilisée par l'entreprise représente $100\%$.
Or $40\%$ de produits alimentaires BIO correspondent à $25000$ tonnes. Il nous suffit de faire un produit en croix, comme présenté ci-dessous :
Il vient alors :

Il en résulte donc que la masse totale $M$ de produits alimentaires utilisée par l'entreprise est de $62500$ tonnes.

• La valeur initiale $V_{0}$ vaut ici $90$.
• La valeur finale $V_{1}$ vaut ici $80$.

Il vient alors que :
$t=\frac{V_{1} -V_{0} }{V_{0} }\times100$ équivaut successivement à :
$t=\frac{80-90 }{90 }\times100$

La vitesse moyenne va diminuer de $11,11\%$

D'après l'énoncé, on déduit que :

• La valeur finale vaut $16446$
• Le coefficient multiplicateur vaut $1+\frac{32,67}{100}=1,3267$

Il en résulte donc que :
$\text{Valeur initiale}=\frac{16446}{1,3267}$

Le nombre de ces exploitations en $2017$ est alors de $12396$.

Soit $t$ le taux global d'évolution recherché.

Le coefficient multiplicateur associée à une augmentation de $12\%$ est : $1+\frac{12}{100}=1,12$

Le coefficient multiplicateur associée à une diminution de $12\%$ est : $1-\frac{12}{100}=0,88$

Il en résulte donc que :
$1+\frac{t}{100} =1,12\times 0,88$
$1+\frac{t}{100} =0,9856$
$\frac{t}{100} =0,9856-1$
$\frac{t}{100} =-0,0144$
$t=-0,0144\times 100$

Le taux d’évolution global est de $t=-1,44\%$ c'est à dire qu'une augmentation de $12\%$ suivi d'une diminution de $12\%$ correspond à une diminution de $1,44\%$ entre ces deux années.

Soit $t'\%$ l'évolution réciproque d'une diminution de $80\%$.

Le coefficient multiplicateur associée à une diminution de $80\%$ est : $1-\frac{80}{100}$

Pour trouver la valeur de $t'\%$, il nous faut donc résoudre l'équation : $1+\frac{t'}{100} =\frac{1}{1+\frac{t}{100} }$.
Ainsi :
$1+\frac{t'}{100} =\frac{1}{1-\frac{80}{100} }$ . Ici nous faisons bien $1-\frac{80}{100}$ au dénominateur car nous avons une baisse de $80\%$.
$1+\frac{t'}{100} =\frac{1}{1-0,8 }$
$1+\frac{t'}{100} =\frac{1}{0,2 }$
$1+\frac{t'}{100} =5$
$\frac{t'}{100} =5-1$
$\frac{t'}{100} =4$
$t' =4\times100$

Si le cours de l'action diminue de $80\%$ alors son taux réciproque pour revenir à son niveau initial est une augmentation de $400\%$.