Géométrie plane : Orthogonalité, Trigonométrie

Exercices types : 33ème partie - Exercice 2

15 min
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Question 1

Quelle est la valeur de α\alpha à 10−210^{-2} près ?

Correction
Pour déterminer la valeur de α\alpha . Il va falloir déterminer la mesure de l'angle ILJ^\widehat{ILJ} puis la mesure de l'angle ILJ^\widehat{ILJ}
  • Calcul de la mesure de l’angle\red{\text{Calcul de la mesure de l'angle}} ILJ^\red{\widehat{ILJ}}
    • Le triangle LIJLIJ est rectangle en II. Nous connaissons :
  • Le côté opposé à l'angle ILJ^\widehat{ILJ} dont la mesure est IJ=2,5IJ=2,5 cm .
  • Le côté adjacent à l'angle ILJ^\widehat{ILJ} dont la mesure est LI=5,5LI=5,5 cm .
  • Nous recherchons l'angle ILJ^\widehat{ILJ} .
    • Nous allons donc utiliser la tangente{\color{blue}\text{tangente}} .
    tan⁡(ILJ^)=coteˊ opposeˊ aˋ l’angle ILJ^coteˊ adjacent aˋ l’angle ILJ^\tan\left(\widehat{ILJ}\right)=\frac{\text{coté opposé à l'angle }\widehat{ILJ}}{\text{coté adjacent à l'angle }\widehat{ILJ}}
    tan⁡(ILJ^)=IJLI\tan\left(\widehat{ILJ}\right)=\frac{IJ}{LI}
    tan⁡(ILJ^)=2,55,5\tan\left(\widehat{ILJ}\right)=\frac{2,5}{5,5}
    ILJ^=tan⁡−1(2,55,5)\widehat{ILJ}=\tan^{-1}\left(\frac{2,5}{5,5}\right) ou encore ILJ^=arctan(2,55,5)\widehat{ILJ}=\text{arctan}\left(\frac{2,5}{5,5}\right)
    • Il faut vérifier que votre calculatrice est bien en mode degré, et n'oubliez pas de mettre les parenthèses.
    Ainsi :
    ILJ^≈24,44∘\widehat{ILJ}\approx24,44{}^\circ

    La mesure de l'angle ILJ^\widehat{ILJ} est de 24,44∘24,44{}^\circ (arrondi au centième près).
  • Calcul de la mesure de l’angle\red{\text{Calcul de la mesure de l'angle}} ILK^\red{\widehat{ILK}}
    • Le triangle LIKLIK est rectangle en II. Nous connaissons :
  • Le côté opposé à l'angle ILK^\widehat{ILK} dont la mesure est IK=2,5+1,83=4,33IK=2,5+1,83=4,33 cm .
  • Le côté adjacent à l'angle ILK^\widehat{ILK} dont la mesure est LI=5,5LI=5,5 cm .
  • Nous recherchons l'angle ILK^\widehat{ILK} .
    • Nous allons donc utiliser la tangente{\color{blue}\text{tangente}} .
    tan⁡(ILK^)=coteˊ opposeˊ aˋ l’angle ILK^coteˊ adjacent aˋ l’angle ILK^\tan\left(\widehat{ILK}\right)=\frac{\text{coté opposé à l'angle }\widehat{ILK}}{\text{coté adjacent à l'angle }\widehat{ILK}}
    tan⁡(ILK^)=IKLI\tan\left(\widehat{ILK}\right)=\frac{IK}{LI}
    tan⁡(ILK^)=4,335,5\tan\left(\widehat{ILK}\right)=\frac{4,33}{5,5}
    ILK^=tan⁡−1(4,335,5)\widehat{ILK}=\tan^{-1}\left(\frac{4,33}{5,5}\right) ou encore ILK^=arctan(4,335,5)\widehat{ILK}=\text{arctan}\left(\frac{4,33}{5,5}\right)
    • Il faut vérifier que votre calculatrice est bien en mode degré, et n'oubliez pas de mettre les parenthèses.
    Ainsi :
    ILK^≈38,21∘\widehat{ILK}\approx38,21{}^\circ

    La mesure de l'angle ILK^\widehat{ILK} est de 38,21∘38,21{}^\circ (arrondi au centième près).
  • Conclusion :\red{\text{Conclusion :}}
    • D'après le graphique, on vérifie que facilement que : α=JLK^\alpha=\widehat{JLK}
    JLK^=ILK^−ILJ^\widehat{JLK}=\widehat{ILK}-\widehat{ILJ}
    JLK^=38,21∘−24,44∘\widehat{JLK}=38,21{}^\circ-24,44{}^\circ
    JLK^=13,77∘\widehat{JLK}=13,77{}^\circ
    Finalement :
    α=13,77∘\alpha=13,77{}^\circ