Exercices types : $$3$$^ème partie - Exercice 2

Pour déterminer la valeur de $$\alpha$$, il va falloir déterminer la mesure de l'angle $$\widehat{ILJ}$$ puis la mesure de l'angle $$\widehat{ILK}$$.

$$\red{\text{Calcul de la mesure de l'angle}}$$ $$\red{\widehat{ILJ}}$$

Le triangle $$LIJ$$ est rectangle en $$I$$. Nous connaissons :

Le côté opposé à l'angle $$\widehat{ILJ}$$ dont la mesure est $$IJ=2,5$$ cm .

Le côté adjacent à l'angle $$\widehat{ILJ}$$ dont la mesure est $$LI=5,5$$ cm .

Nous recherchons l'angle $$\widehat{ILJ}$$ .

Nous allons donc utiliser la $${\color{blue}\text{tangente}}$$ .
$$\tan\left(\widehat{ILJ}\right)=\frac{\text{côté opposé à l'angle }\widehat{ILJ}}{\text{côté adjacent à l'angle }\widehat{ILJ}}$$
$$\tan\left(\widehat{ILJ}\right)=\frac{IJ}{LI}$$
$$\tan\left(\widehat{ILJ}\right)=\frac{2,5}{5,5}$$
$$\widehat{ILJ}=\tan^{-1}\left(\frac{2,5}{5,5}\right)$$ ou encore $$\widehat{ILJ}=\text{arctan}\left(\frac{2,5}{5,5}\right)$$
Ainsi :
La mesure de l'angle $$\widehat{ILJ}$$ est de $$24,44{}^\circ$$ (arrondi au centième près).

$$\red{\text{Calcul de la mesure de l'angle}}$$ $$\red{\widehat{ILK}}$$

Le triangle $$LIK$$ est rectangle en $$I$$. Nous connaissons :

Le côté opposé à l'angle $$\widehat{ILK}$$ dont la mesure est $$IK=2,5+1,83=4,33$$ cm .

Le côté adjacent à l'angle $$\widehat{ILK}$$ dont la mesure est $$LI=5,5$$ cm .

Nous recherchons l'angle $$\widehat{ILK}$$ .

Nous allons donc utiliser la $${\color{blue}\text{tangente}}$$ .
$$\tan\left(\widehat{ILK}\right)=\frac{\text{côté opposé à l'angle }\widehat{ILK}}{\text{côté adjacent à l'angle }\widehat{ILK}}$$
$$\tan\left(\widehat{ILK}\right)=\frac{IK}{LI}$$
$$\tan\left(\widehat{ILK}\right)=\frac{4,33}{5,5}$$
$$\widehat{ILK}=\tan^{-1}\left(\frac{4,33}{5,5}\right)$$ ou encore $$\widehat{ILK}=\text{arctan}\left(\frac{4,33}{5,5}\right)$$
Ainsi :
La mesure de l'angle $$\widehat{ILK}$$ est de $$38,21{}^\circ$$ (arrondi au centième près).

$$\red{\text{Conclusion :}}$$

D'après le graphique, on vérifie facilement que : $$\alpha=\widehat{JLK}$$
$$\widehat{JLK}=\widehat{ILK}-\widehat{ILJ}$$
$$\widehat{JLK}=38,21{}^\circ-24,44{}^\circ$$
$$\widehat{JLK}=13,77{}^\circ$$
Finalement :