Géométrie plane : Orthogonalité, Trigonométrie

Exercices types : 33ème partie - Exercice 1

15 min
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Question 1
On considère un triangle ILKILK isocèle en LL, OO est le milieu de [IK][IK]. JJ est le symétrique de LL par rapport au point OO.

Faire une figure que l'on complétera au fur et à mesure des questions.

Correction
Question 2

Justifier que le quadrilatère IJKLIJKL est un losange.

Correction
[IK][IK] et [LJ][LJ] sont les diagonales du quadrilatère IJKL.IJKL.
On sait que :
  • OO est le milieu du segment [IK].[IK].
  • JJ est le symétrique de LL par rapport au point OO. On peut donc en conclure que OO est le milieu du segment [LJ][LJ].
    Les diagonales du quadrilatère se coupent en leur milieu, on peut donc en conclure dans un premier temps que le quadrilatère IJKLIJKL est un parallélogramme.
    De plus [IL]=[LK][IL]=[LK] car le triangle ILKILK est isocèle en LL.
    • Un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de même longueur est un losange.
    Or dans le parallélogramme IJKLIJKL on a [IL]=[LK].[IL]=[LK].
    Par conséquent le paraléllogramme IJKLIJKL a deux côtés consécutifs de même longueur, donc IJKLIJKL est un losange.
  • Question 3

    (d)(d) est la droite parallèle à IKIK passant par le point LL . Démontrer que (d)(d) est perpendiculaire à la droite (LJ)(LJ).

    Correction
    On sait que IJKLIJKL est un losange.
    • Les diagonales d'un losange se coupent perpendiculairement.
    Par conséquent on peut en déduire que (IK)(LJ).(IK)\perp(LJ).
    On sait que (d)(d) est la droite parallèle à IKIK passant par le point L.L.
    • Si deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l’autre.
    Par conséquent puisque (d)(IK)(d)\mathbin{\|}(IK) et que (IK)(LJ)(IK)\perp(LJ), on peut donc en conclure que (d)(LJ).(d)\perp(LJ).