Géométrie plane : Orthogonalité, Trigonométrie

Exercices types : 22ème partie - Exercice 3

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Question 1
Soit α\alpha la mesure en degrés d'un angle aigu tel que cos⁡2(x)=0,8.\cos ^{2} \left(x\right)=0,8.
Pour rappel un angle aigu est compris entre 0∘0^\circ et 90∘90^\circ.

Calculer la valeur exacte de sin⁡(x)\sin \left(x\right).

Correction
Pour tout réel xx, on a : cos⁡2(x)+sin⁡2(x)=1\cos ^{2} \left(x\right)+\sin ^{2} \left(x\right)=1
On sait que :
cos⁡2(x)+sin⁡2(x)=1\cos ^{2} \left(x\right)+\sin ^{2} \left(x\right)=1 équivaut successivement à :
0,8+sin⁡2(x)=10,8+\sin ^{2} \left(x\right)=1 car cos⁡2(x)=0,8.\cos ^2\left(x\right)=0,8.
sin⁡2(x)=1−0,8\sin ^{2} \left(x\right)=1-0,8
sin⁡2(x)=0,2\sin ^{2} \left(x\right)=0,2
Ainsi : sin⁡(x)=0,2\sin \left(x\right)=\sqrt{0,2 } ou sin⁡(x)=−0,2\sin \left(x\right)=-\sqrt{0,2 }
Or α∈[0;90∘]\alpha\in \left[0 ;90^{\circ}\right]. Cela signifie que le sinus doit être positif.
On ne garde alors que : sin⁡(x)=0,2\sin \left(x\right)=\sqrt{0,2 }
En effet, sur l'intervalle [0;90∘]\left[0 ;90^{\circ}\right] le sinus est positif.