🔴  Lives #BAC2024

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Géométrie plane : Orthogonalité, Trigonométrie

Exercices types : 11ère partie - Exercice 3

20 min
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Question 1
On considère la figure ci-dessous :

Calculer la mesure du segment [AB][AB].

Correction
Comme le triangle ABCABC est rectangle en BB avec AC=224AC = 224 mm et BC=102BC = 102 mm . On peut appliquer le théorème de Pythagore :
AC2=AB2+BC2AC^{2} =AB^{2} +BC^{2}
  • (Le coˆteˊ que l’on recherche\text{Le côté que l'on recherche})2^{2} == (l’hypoteˊnuse\text{l'hypoténuse})2^{2} - (le coteˊ que l’on connait\text{le coté que l'on connait} )2^{2} .
On a alors :
AB2=AC2BC2AB^{2} =AC^{2} -BC^{2}
AB2=22421022AB^{2} =224^{2} -102^{2}
AB2=50  17610  404AB^{2} =50\;176-10\;404
AB2=60  580AB^{2} =60\;580 . Nous allons utiliser la racine carrée pour déterminer la mesure de ABAB.
D'où :
AB=60  580  mmAB=\sqrt{60\;580}\; mm.
AB=246,13  mm\color{blue}\boxed{AB=246,13\;mm } .
Question 2

Calculer l'aire du triangle ABC.ABC.

Correction
  • L’aire d’un triangle est deˊfinie par la formule suivante :        Airetriangle=base×hauteur2\text{L'aire d'un triangle est définie par la formule suivante :} \;\;\;\; \color{red} Aire_{triangle}=\frac{base\times{hauteur}}{2} .

Le triangle ABCABC est rectangle en BB.
Or  dans  un  triangle  rectangle,  la  base  et  la  hauteur  sont  les  co^teˊs  formeˊs  par  langle  droit.{\color{black}Or\;dans\;un\;triangle\;rectangle,\;la\;base\;et\;la\;hauteur\;sont\;les\;côtés\;formés\;par\; l'angle\;droit.}
Airetriangle=AB×BC2Aire_{triangle}=\frac{AB\times{BC}}{2}
Airetriangle=246,13×1022Aire_{triangle}=\frac{246,13\times{102}}{2}
Airetriangle=12  552,6  mm2Aire_{triangle}=12\;552,6\;mm^2
Airetriangle=125,526  cm2\color{blue}\boxed{Aire_{triangle}=125,526\;cm^2}
Question 3

Exprimer l'aire du triangle ABCABC en fonction de la longueur BHBH.

Correction
  • L’aire d’un triangle est deˊfinie par la formule suivante :        Airetriangle=base×hauteur2\text{L'aire d'un triangle est définie par la formule suivante :} \;\;\;\; \color{red} Aire_{triangle}=\frac{base\times{hauteur}}{2} .
Dans le triangle ABCABC, [BH][BH] est la hauteur issue de BB.
Prenons dans ce triangle comme base le segment [AC][AC], alors l'aire du triangle ABCABC peut s'écrire :
Airetriangle=AC×BH2\color{blue}\boxed{Aire_{triangle}=\frac{AC\times{BH}}{2}}
Question 4

En déduire la mesure de BHBH.

Correction
A l'aide de la question précédente on a déterminer :Airetriangle=AC×BH2\color{blue}\boxed{Aire_{triangle}=\frac{AC\times{BH}}{2}}.
A la question 22 on à déterminer l'aire du triangle ABCABC qui est :Airetriangle=12  552,6  mm2\color{blue}\boxed{Aire_{triangle}=12\;552,6\;mm^2}.
On peut donc en déduire l'égalité suivante : AC×BH2=12  552,6\frac{AC\times{BH}}{2}=12\;552,6
AC×BH2=12  552,6\frac{AC\times{BH}}{2}=12\;552,6
224×BH2=12  552,6\frac{224\times{BH}}{2}=12\;552,6
224×BH2×2=12  552,6×2\frac{224\times{BH}}{2}\times{\color{blue}2}=12\;552,6\times{\color{blue}2}           \;\;\;\;\; On multiplie chaque membre par 2{\color{blue}2}.
224×BH=25  105,2224\times{BH}=25\;105,2
224×BH224=25  105,2224\frac{224\times{BH}}{\color{blue}224}=\frac{25\;105,2}{\color{blue}224}
BH=112,077  mm.\color{blue}\boxed{BH=112,077\;mm}.