Exercices types : $$1$$^ère partie - Exercice 1

Dans un premier temps il est important de coder la figure avec les informations de l'énoncé. On obtient donc :

Dans le triangle $$ILJ$$, le plus grand côté est $$IL=10$$ cm .

Calculons d'une part :

$$IL^{2} =10^{2}$$

Calculons d'autre part :

$$IJ^{2} +JL^{2} =8^{2} +6^{2}$$
$$IJ^{2} +JL^{2} =64+36$$

Or $${\color{blue}IL^{2}=IJ^{2} +JL^{2}}$$
Donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle $$ILJ$$ est rectangle en $$J$$ .

Le triangle $$IJL$$ est rectangle en $$J$$. Nous connaissons :

Le côté adjacent à l'angle $$\widehat{I}$$ dont la mesure est $$IJ=8$$ cm .

L'hypoténuse $$IL=10$$ cm .

Nous recherchons l'angle $$\widehat{I}$$ .

Nous allons donc utiliser le $${\color{blue}\text{cosinus}}$$ .
$$\cos\left(\widehat{LIJ}\right)=\frac{\text{coté adjacent à l'angle }\widehat{I}}{\text{hypoténuse}}$$
$$\cos\left(\widehat{LIJ}\right)=\frac{IJ}{IL}$$
$$\cos\left(\widehat{LIJ}\right)=\frac{8}{10}$$
$$\widehat{LIJ}=\cos^{-1}\left(\frac{8}{10}\right)$$ ou encore $$\widehat{LIJ}=\text{arcos}\left(\frac{8}{10}\right)$$
Ainsi :
La mesure de l'angle $$\widehat{LIJ}$$ est de $$37{}^\circ$$ (arrondi au degré près).

Les droites $$(IM)$$ et $$(IK)$$ sont sécantes en $$I$$.

Les points $$I$$, $$J$$, $$K$$ sont alignés dans le même ordre que $$I$$, $$L$$ et $$M$$.

Calculons d'une part :
$$\frac{IJ}{IK} =\frac{8}{12}$$

Calculons d'autre part :
$$\frac{IL}{IM} =\frac{10}{14}$$

On constate ici, que : $$\frac{IJ}{IK}\neq\frac{IL}{IM}$$ .
$${\color{red}\text{Donc d’après la contraposée du théorème de Thalès}}$$ les droites $$\left(LJ\right)$$ et $$\left(MK\right)$$ ne sont pas parallèles.