On considère la figure ci-dessous. (La figure n'est pas à l'échelle).
Question 1
On donne les informations suivantes :
Les droites (MI) et (KI) sont sécantes en I.
IJ=8cm, IL=10cm,LJ=6cm.
IK=12cm,IM=14cm.
Le triangle ILJ est-il rectangle?
Correction
Dans un premier temps il est important de coder la figure avec les informations de l'énoncé. On obtient donc :
Dans le triangle ILJ, le plus grand côté est IL=10 cm .
Calculons d'une part :
IL2=102
IL2=100
Calculons d'autre part :
IJ2+JL2=82+62 IJ2+JL2=64+36
IJ2+JL2=100
Or IL2=IJ2+JL2 Donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle ILJ est rectangle en J .
Question 2
En déduire une mesure de l'angle JIL au degré près.
Correction
Le triangle IJL est rectangle en J. Nous connaissons :
Le côté adjacent à l'angle I dont la mesure est IJ=8 cm .
L'hypoténuse IL=10 cm .
Nous recherchons l'angle I .
Nous allons donc utiliser le cosinus . cos(LIJ)=hypoteˊnusecoteˊ adjacent aˋ l’angle I cos(LIJ)=ILIJ cos(LIJ)=108 LIJ=cos−1(108) ou encore LIJ=arcos(108)
Il faut vérifier que votre calculatrice est bien en mode degré, et n'oubliez pas de mettre les parenthèses.
Ainsi :
LIJ≈36,86∘
La mesure de l'angle LIJ est de 37∘ (arrondi au degré près).
Question 3
Les droites (LJ) et (MK) sont-elles parallèles? Justifier votre réponse.
Correction
Les droites (IM) et (IK) sont sécantes en I.
Les points I, J, K sont alignés dans le même ordre que I, L et M.
Calculons d'une part : IKIJ=128
IKIJ=32
Calculons d'autre part : IMIL=1410
IMIL=75
On constate ici, que : IKIJ=IMIL . Donc d’apreˋs la contraposeˊe du theˊoreˋme de Thaleˋs les droites (LJ) et (MK) ne sont pas parallèles.
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