Qui aura 20 en maths ?

💯 Teste ton niveau de maths et tente de gagner un des lots !S'inscrire au jeu  

Nouveau

🔥 Découvre nos fiches d'exercices gratuites avec corrections en vidéo !Accéder aux fiches  

Exercices types : 11ère partie - Exercice 1

20 min
35
On considère la figure ci-dessous. (La figure n'est pas à l'échelle).
Question 1
On donne les informations suivantes :
  • Les droites (MI)(MI) et (KI)(KI) sont sécantes en II.
  • IJ=8  cmIJ=8\;cm, IL=10  cmIL=10\;cm,  \; LJ=6  cmLJ=6\;cm.
  • IK=12  cmIK=12\;cm,  \; IM=14  cmIM=14\;cm.
  • Le triangle ILJILJ est-il rectangle?

    Correction
    Dans un premier temps il est important de coder la figure avec les informations de l'énoncé. On obtient donc :

    Dans le triangle ILJILJ, le plus grand côté est IL=10IL=10 cm .
  • Calculons d'une part :
  • IL2=102IL^{2} =10^{2}
    IL2=100IL^{2} =100
  • Calculons d'autre part :
  • IJ2+JL2=82+62IJ^{2} +JL^{2} =8^{2} +6^{2}
    IJ2+JL2=64+36IJ^{2} +JL^{2} =64+36
    IJ2+JL2=100IJ^{2} +JL^{2} =100

    Or IL2=IJ2+JL2{\color{blue}IL^{2}=IJ^{2} +JL^{2}}
    Donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle ILJILJ est rectangle en JJ .
    Question 2

    En déduire une mesure de l'angle JIL^\widehat{JIL} au degré près.

    Correction
    Le triangle IJLIJL est rectangle en JJ. Nous connaissons :
  • Le côté adjacent à l'angle I^\widehat{I} dont la mesure est IJ=8IJ=8 cm .
  • L'hypoténuse IL=10IL=10 cm .
  • Nous recherchons l'angle I^\widehat{I} .
  • Nous allons donc utiliser le cosinus{\color{blue}\text{cosinus}} .
    cos(LIJ^)=coteˊ adjacent aˋ l’angle I^hypoteˊnuse\cos\left(\widehat{LIJ}\right)=\frac{\text{coté adjacent à l'angle }\widehat{I}}{\text{hypoténuse}}
    cos(LIJ^)=IJIL\cos\left(\widehat{LIJ}\right)=\frac{IJ}{IL}
    cos(LIJ^)=810\cos\left(\widehat{LIJ}\right)=\frac{8}{10}
    LIJ^=cos1(810)\widehat{LIJ}=\cos^{-1}\left(\frac{8}{10}\right) ou encore LIJ^=arcos(810)\widehat{LIJ}=\text{arcos}\left(\frac{8}{10}\right)
    • Il faut vérifier que votre calculatrice est bien en mode degré, et n'oubliez pas de mettre les parenthèses.
    Ainsi :
    LIJ^36,86\widehat{LIJ}\approx36,86{}^\circ

    La mesure de l'angle LIJ^\widehat{LIJ} est de 3737{}^\circ (arrondi au degré près).
    Question 3

    Les droites (LJ)(LJ) et (MK)(MK) sont-elles parallèles? Justifier votre réponse.

    Correction
  • Les droites (IM)(IM) et (IK)(IK) sont sécantes en II.
  • Les points II, JJ, KK sont alignés dans le même ordre que II, LL et MM.
  • Calculons d'une part :
    IJIK=812\frac{IJ}{IK} =\frac{8}{12}
    IJIK=23\frac{IJ}{IK} =\frac{2}{3}

    Calculons d'autre part :
    ILIM=1014\frac{IL}{IM} =\frac{10}{14}
    ILIM=57\frac{IL}{IM} =\frac{5}{7}

    On constate ici, que : IJIKILIM\frac{IJ}{IK}\neq\frac{IL}{IM} .
    Donc d’apreˋs la contraposeˊe du theˊoreˋme de Thaleˋs{\color{red}\text{Donc d’après la contraposée du théorème de Thalès}} les droites (LJ)\left(LJ\right) et (MK)\left(MK\right) ne sont pas parallèles.