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Comment calculer une valeur de cos(x)\cos(x) ou de sin(x)\sin(x) en utilisant la formule cos2(x)+sin2(x)=1\cos^{2}(x) + \sin^{2}(x)=1 - Exercice 1

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Question 1

ABCABC est un triangle rectangle en BB tel que cos(BAC^) =0,4{\mathrm{cos} \left(\widehat{BAC}\right)\ }=0,4 .
Donner la valeur exacte de sin(BAC^) {\mathrm{sin} \left(\widehat{BAC}\right)\ } .

Correction
Comme ABCABC est un triangle rectangle en BB alors l'angle BAC^\widehat{BAC} est un angle aigu.
Pour tout réel xx, on a : cos2(x)+sin2(x)=1\cos ^{2} \left(x\right)+\sin ^{2} \left(x\right)=1
On sait que :
cos2(BAC^)+sin2(BAC^)=1\cos ^{2} \left(\widehat{BAC}\right)+\sin ^{2} \left(\widehat{BAC}\right)=1 équivaut successivement à :
(0,4)2+sin2(BAC^)=1\left(0,4\right)^2+\sin ^{2} \left(\widehat{BAC}\right)=1
0,16+sin2(BAC^)=10,16+\sin ^{2} \left(\widehat{BAC}\right)=1
sin2(BAC^)=10,16\sin ^{2} \left(\widehat{BAC}\right)=1-0,16
sin2(BAC^)=0,84\sin ^{2} \left(\widehat{BAC}\right)=0,84
Ainsi : sin(BAC^)=0,84\sin \left(\widehat{BAC}\right)=\sqrt{0,84} ou sin(BAC^)=0,84\sin \left(\widehat{BAC}\right)=-\sqrt{0,84 }
Or BAC^[0;90]\widehat{BAC}\in \left[0 ;90^{\circ}\right] car nous savons que l'angle BAC^\widehat{BAC} est un angle aigu. Cela signifie que le sinus doit être positif.
On ne garde alors que :
sin(BAC^)=0,84\sin \left(\widehat{BAC}\right)=\sqrt{0,84 }
Question 2

MATMAT est un triangle rectangle en AA tel que sin(AMT^) =0,2{\mathrm{sin} \left(\widehat{AMT}\right)\ }=0,2 .
Donner la valeur exacte de cos(AMT^) {\mathrm{cos} \left(\widehat{AMT}\right)\ } .

Correction
Comme MATMAT est un triangle rectangle en AA alors l'angle AMT^\widehat{AMT} est un angle aigu.
Pour tout réel xx, on a : cos2(x)+sin2(x)=1\cos ^{2} \left(x\right)+\sin ^{2} \left(x\right)=1
On sait que :
cos2(AMT^)+sin2(AMT^)=1\cos ^{2} \left(\widehat{AMT}\right)+\sin ^{2} \left(\widehat{AMT}\right)=1 équivaut successivement à :
cos2(AMT^)+0,22=1\cos ^{2} \left(\widehat{AMT}\right)+0,2^2=1
cos2(AMT^)+0,04=1\cos ^{2} \left(\widehat{AMT}\right)+0,04=1
cos2(AMT^)=10,04\cos ^{2} \left(\widehat{AMT}\right)=1-0,04
cos2(AMT^)=0,96\cos ^{2} \left(\widehat{AMT}\right)=0,96
Ainsi : cos(AMT^)=0,96\cos \left(\widehat{AMT}\right)=\sqrt{0,96} ou cos(AMT^)=0,96\cos \left(\widehat{AMT}\right)=-\sqrt{0,96}
Or AMT^[0;90]\widehat{AMT}\in \left[0 ;90^{\circ}\right] car nous savons que l'angle AMT^\widehat{AMT} est un angle aigu. Cela signifie que le cosinus doit être positif.
On ne garde alors que :
cos(AMT^)=0,96\cos \left(\widehat{AMT}\right)=\sqrt{0,96}