Résoudre une inéquation quotient - Exercice 2

Pour résoudre cette inéquation, il faut tout d'abord faire le tableau de signe de l'expression $$\dfrac{3x-2}{x-4}$$.

$$\red{\text{D'une part :}}$$

$$3x-2=0\Leftrightarrow 3x=2\Leftrightarrow x=\dfrac{2}{3}$$
Soit $$x\mapsto 3x-2$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=3>0$$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $$3x-2$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=\dfrac{2}{3}$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)

$$\red{\text{D'autre part :}}$$

$$x-4=0\Leftrightarrow x=4$$ . Attention, ici $$x=4$$ est la valeur interdite.
Soit $$x\mapsto x-4$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=1>0$$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $$x-4$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=4$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)
Le tableau du signe du quotient est donné ci-dessous :
(La double barre dans le tableau indique que $$x=4$$ est une valeur interdite)
Maintenant que nous avons le tableau de signe, nous allons pouvoir résoudre l'inéquation $$\dfrac{3x-2}{x-4}\ge0$$. Il nous faut regarder la dernière ligne du tableau de signe. En effet, $$\dfrac{3x-2}{x-4}\ge0$$ signifie que nous cherchons le signe $${\color{red}\text{plus}}$$ dans la dernière ligne du tableau de signe. Comme l'inégalité est large, la valeur $$x=\dfrac{2}{3}$$ qui annule le numérateur fait partie des solutions (crochet fermé), mais la valeur interdite $$x=4$$ n'en fait jamais partie (crochet ouvert).
Ainsi :

Pour résoudre cette inéquation, il faut tout d'abord faire le tableau de signe de l'expression $$\dfrac{x+2}{5x-1}$$.

$$\red{\text{D'une part :}}$$

$$x+2=0\Leftrightarrow x=-2$$
Soit $$x\mapsto x+2$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=1>0$$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $$x+2$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=-2$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)

$$\red{\text{D'autre part :}}$$

$$5x-1=0\Leftrightarrow 5x=1\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{5}$$ . Attention, ici $$x=\dfrac{1}{5}$$ est la valeur interdite.
Soit $$x\mapsto 5x-1$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=5>0$$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $$5x-1$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=\dfrac{1}{5}$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)
Le tableau du signe du quotient est donné ci-dessous :
(La double barre dans le tableau indique que $$x=\dfrac{1}{5}$$ est une valeur interdite)
Maintenant que nous avons le tableau de signe, nous allons pouvoir résoudre l'inéquation $$\dfrac{x+2}{5x-1}<0$$. Il nous faut regarder la dernière ligne du tableau de signe. En effet, $$\dfrac{x+2}{5x-1}<0$$ signifie que nous cherchons le signe $${\color{red}\text{moins}}$$ dans la dernière ligne du tableau de signe. Comme l'inégalité est stricte, la valeur $$x=-2$$ qui annule le numérateur ne fait pas partie des solutions, et la valeur interdite $$x=\dfrac{1}{5}$$ n'en fait jamais partie (crochets ouverts).
Ainsi :

Pour résoudre cette inéquation, il faut tout d'abord faire le tableau de signe de l'expression $$\dfrac{7-2x}{3x+4}$$.

$$\red{\text{D'une part :}}$$

$$7-2x=0\Leftrightarrow -2x=-7\Leftrightarrow x=\dfrac{-7}{-2}=\dfrac{7}{2}$$
Soit $$x\mapsto 7-2x$$ est une fonction affine décroissante car son coefficient directeur $$a=-2<0$$. (Cela signifie que la fonction DESCEND donc on commencera dans la ligne $$7-2x$$ par le signe $$\left(+\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=\dfrac{7}{2}$$ on mettra le signe $$\left(-\right)$$ dans le tableau de signe.)

$$\red{\text{D'autre part :}}$$

$$3x+4=0\Leftrightarrow 3x=-4\Leftrightarrow x=-\dfrac{4}{3}$$ . Attention, ici $$x=-\dfrac{4}{3}$$ est la valeur interdite.
Soit $$x\mapsto 3x+4$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=3>0$$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $$3x+4$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=-\dfrac{4}{3}$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)
Le tableau du signe du quotient est donné ci-dessous :
(La double barre dans le tableau indique que $$x=-\dfrac{4}{3}$$ est une valeur interdite)
Maintenant que nous avons le tableau de signe, nous allons pouvoir résoudre l'inéquation $$\dfrac{7-2x}{3x+4}>0$$. Il nous faut regarder la dernière ligne du tableau de signe. En effet, $$\dfrac{7-2x}{3x+4}>0$$ signifie que nous cherchons le signe $${\color{red}\text{plus}}$$ dans la dernière ligne du tableau de signe. Comme l'inégalité est stricte, la valeur $$x=\dfrac{7}{2}$$ qui annule le numérateur ne fait pas partie des solutions, et la valeur interdite $$x=-\dfrac{4}{3}$$ n'en fait jamais partie (crochets ouverts).
Ainsi :

Pour résoudre cette inéquation, il faut tout d'abord faire le tableau de signe de l'expression $$\dfrac{x}{-2x+5}$$.

$$\red{\text{D'une part :}}$$

$$x=0$$
Soit $$x\mapsto x$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=1>0$$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $$x$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=0$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)

$$\red{\text{D'autre part :}}$$

$$-2x+5=0\Leftrightarrow -2x=-5\Leftrightarrow x=\dfrac{-5}{-2}=\dfrac{5}{2}$$ . Attention, ici $$x=\dfrac{5}{2}$$ est la valeur interdite.
Soit $$x\mapsto -2x+5$$ est une fonction affine décroissante car son coefficient directeur $$a=-2<0$$. (Cela signifie que la fonction DESCEND donc on commencera dans la ligne $$-2x+5$$ par le signe $$\left(+\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=\dfrac{5}{2}$$ on mettra le signe $$\left(-\right)$$ dans le tableau de signe.)
Le tableau du signe du quotient est donné ci-dessous :
(La double barre dans le tableau indique que $$x=\dfrac{5}{2}$$ est une valeur interdite)
Maintenant que nous avons le tableau de signe, nous allons pouvoir résoudre l'inéquation $$\dfrac{x}{-2x+5}\le0$$. Il nous faut regarder la dernière ligne du tableau de signe. En effet, $$\dfrac{x}{-2x+5}\le0$$ signifie que nous cherchons le signe $${\color{red}\text{moins}}$$ dans la dernière ligne du tableau de signe. Comme l'inégalité est large, la valeur $$x=0$$ qui annule le numérateur fait partie des solutions (crochet fermé), mais la valeur interdite $$x=\dfrac{5}{2}$$ n'en fait jamais partie (crochet ouvert).
Ainsi :