Résoudre une inéquation produit - Exercice 2

Pour résoudre cette inéquation, il faut tout d'abord faire le tableau de signe de l'expression $$x\left(3x-12\right)$$.

$$\red{\text{D'une part :}}$$

$$x=0$$
Soit $$x\mapsto x$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=1>0$$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $$x$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=0$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)

$$\red{\text{D'autre part :}}$$

$$3x-12=0\Leftrightarrow 3x=12\Leftrightarrow x=\dfrac{12}{3}=4$$
Soit $$x\mapsto 3x-12$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=3>0$$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $$3x-12$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=4$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)
Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :
Maintenant que nous avons le tableau de signe, nous allons pouvoir résoudre l'inéquation $$x\left(3x-12\right)\ge0$$. Il nous faut regarder la dernière ligne du tableau de signe. En effet, $$x\left(3x-12\right)\ge0$$ signifie que nous cherchons le signe $${\color{red}\text{plus}}$$ dans la dernière ligne du tableau de signe. Comme l'inégalité est large, les valeurs qui annulent le produit font partie des solutions (crochets fermés).
Ainsi :

Pour résoudre cette inéquation, il faut tout d'abord faire le tableau de signe de l'expression $$\left(5x-2\right)\left(x+4\right)$$.

$$\red{\text{D'une part :}}$$

$$5x-2=0\Leftrightarrow 5x=2\Leftrightarrow x=\dfrac{2}{5}$$
Soit $$x\mapsto 5x-2$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=5>0$$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $$5x-2$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=\dfrac{2}{5}$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)

$$\red{\text{D'autre part :}}$$

$$x+4=0\Leftrightarrow x=-4$$
Soit $$x\mapsto x+4$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=1>0$$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $$x+4$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=-4$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)
Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :
Maintenant que nous avons le tableau de signe, nous allons pouvoir résoudre l'inéquation $$\left(5x-2\right)\left(x+4\right)>0$$. Il nous faut regarder la dernière ligne du tableau de signe. En effet, $$\left(5x-2\right)\left(x+4\right)>0$$ signifie que nous cherchons le signe $${\color{red}\text{plus}}$$ dans la dernière ligne du tableau de signe. Comme l'inégalité est stricte, les valeurs qui annulent le produit ne font pas partie des solutions (crochets ouverts).
Ainsi :

Pour résoudre cette inéquation, il faut tout d'abord faire le tableau de signe de l'expression $$\left(7-2x\right)\left(4x+1\right)$$.

$$\red{\text{D'une part :}}$$

$$7-2x=0\Leftrightarrow -2x=-7\Leftrightarrow x=\dfrac{-7}{-2}=\dfrac{7}{2}$$
Soit $$x\mapsto 7-2x$$ est une fonction affine décroissante car son coefficient directeur $$a=-2<0$$. (Cela signifie que la fonction DESCEND donc on commencera dans la ligne $$7-2x$$ par le signe $$\left(+\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=\dfrac{7}{2}$$ on mettra le signe $$\left(-\right)$$ dans le tableau de signe.)

$$\red{\text{D'autre part :}}$$

$$4x+1=0\Leftrightarrow 4x=-1\Leftrightarrow x=-\dfrac{1}{4}$$
Soit $$x\mapsto 4x+1$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=4>0$$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $$4x+1$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=-\dfrac{1}{4}$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)
Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :
Maintenant que nous avons le tableau de signe, nous allons pouvoir résoudre l'inéquation $$\left(7-2x\right)\left(4x+1\right)<0$$. Il nous faut regarder la dernière ligne du tableau de signe. En effet, $$\left(7-2x\right)\left(4x+1\right)<0$$ signifie que nous cherchons le signe $${\color{red}\text{moins}}$$ dans la dernière ligne du tableau de signe. Comme l'inégalité est stricte, les valeurs qui annulent le produit ne font pas partie des solutions (crochets ouverts).
Ainsi :

Pour résoudre cette inéquation, il faut tout d'abord faire le tableau de signe de l'expression $$\left(3x+5\right)\left(6x-4\right)$$.

$$\red{\text{D'une part :}}$$

$$3x+5=0\Leftrightarrow 3x=-5\Leftrightarrow x=-\dfrac{5}{3}$$
Soit $$x\mapsto 3x+5$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=3>0$$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $$3x+5$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=-\dfrac{5}{3}$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)

$$\red{\text{D'autre part :}}$$

$$6x-4=0\Leftrightarrow 6x=4\Leftrightarrow x=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$$
Soit $$x\mapsto 6x-4$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=6>0$$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $$6x-4$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=\dfrac{2}{3}$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)
Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :
Maintenant que nous avons le tableau de signe, nous allons pouvoir résoudre l'inéquation $$\left(3x+5\right)\left(6x-4\right)\le0$$. Il nous faut regarder la dernière ligne du tableau de signe. En effet, $$\left(3x+5\right)\left(6x-4\right)\le0$$ signifie que nous cherchons le signe $${\color{red}\text{moins}}$$ dans la dernière ligne du tableau de signe. Comme l'inégalité est large, les valeurs qui annulent le produit font partie des solutions (crochets fermés).
Ainsi :