Fonctions affines. Tableaux de signes . Inéquations produit et Inéquations quotient

QCM - Exercice 1

12 min
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Question 1
Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse.

La fonction x4x2(2x1)2x\mapsto 4x^{2}-\left(2x-1\right)^{2} est une fonction affine.

Correction
La proposition est vraie.\red{\text{La proposition est vraie.}}

Si aa et bb deux réels.
  • La fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=ax+bf\left(x\right)=ax+b est une fonction affine.
Nous allons commencer par développer l’expression 4x2(2x1)24x^{2}-\left(2x-1\right)^{2}.
4x2(2x1)2=4x2((2x)22×2x×1+12)4x^{2}-\left(2x-1\right)^{2}=4x^{2}-\left(\left(2x\right)^{2}-2\times2x\times1+1^{2}\right)
4x2(2x1)2=4x2(4x24x+1)4x^{2}-\left(2x-1\right)^{2}=4x^{2}-\left(4x^{2}-4x+1\right)
4x2(2x1)2=4x24x2+4x14x^{2}-\left(2x-1\right)^{2}=4x^{2}-4x^{2}+4x-1
4x2(2x1)2=4x14x^{2}-\left(2x-1\right)^{2}=4x-1
Or la fonction x4x1x\mapsto 4x-1 est bien une fonction affine.
Il en résulte donc que la fonction x4x2(2x1)2x\mapsto 4x^{2}-\left(2x-1\right)^{2} est une fonction affine.
Question 2

La fonction affine x3xx\mapsto 3-x est croissante sur R\mathbb{R}.

Correction
La proposition est fausse.\red{\text{La proposition est fausse.}}

Soient aa et bb deux réels.
  • Si aa est positif, la fonction affine ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=ax+bf\left(x\right)=ax+b est croissante.
  • Si aa est négatif, la fonction affine ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=ax+bf\left(x\right)=ax+b est décroissante.
Ici, le coefficient directeur vaut a=1<0a=-1<0. Il en résulte donc que la fonction x3xx\mapsto 3-x est une fonction décroissante.
Question 3

La fonction affine x2x333x+52x\mapsto \frac{2x-3}{3} -\frac{3x+5}{2} est croissante sur R\mathbb{R}.

Correction
La proposition est fausse.\red{\text{La proposition est fausse.}}
Nous allons commencer par développer l’expression 2x333x+52\frac{2x-3}{3} -\frac{3x+5}{2}.
2x333x+52=(2x3)×23×2(3x+5)×32×3\frac{2x-3}{3} -\frac{3x+5}{2}=\frac{\left(2x-3\right)\times2}{3\times2} -\frac{\left(3x+5\right)\times3}{2\times3}. Nous avons tout mis au même dénominateur.
2x333x+52=4x669x+156\frac{2x-3}{3} -\frac{3x+5}{2}=\frac{4x-6}{6} -\frac{9x+15}{6}
2x333x+52=4x6(9x+15)6\frac{2x-3}{3} -\frac{3x+5}{2}=\frac{4x-6-\left(9x+15\right)}{6}
2x333x+52=4x69x156\frac{2x-3}{3} -\frac{3x+5}{2}=\frac{4x-6-9x-15}{6}
2x333x+52=5x216\frac{2x-3}{3} -\frac{3x+5}{2}=\frac{-5x-21}{6}
2x333x+52=56x216\frac{2x-3}{3} -\frac{3x+5}{2}=-\frac{5}{6}x-\frac{21}{6}

Soient aa et bb deux réels.
  • Si aa est positif, la fonction affine ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=ax+bf\left(x\right)=ax+b est croissante.
  • Si aa est négatif, la fonction affine ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=ax+bf\left(x\right)=ax+b est décroissante.
Ici, le coefficient directeur vaut a=56<0a=-\frac{5}{6}<0. Il en résulte donc que la fonction x56x216x\mapsto -\frac{5}{6}x-\frac{21}{6} est une fonction décroissante.
Finalement, la fonction affine x2x333x+52x\mapsto \frac{2x-3}{3} -\frac{3x+5}{2} est décroissante sur R\mathbb{R}.
Question 4

La fonction x9x\mapsto -9 est affine.

Correction
La proposition est fausse.\red{\text{La proposition est fausse.}}

Si aa et bb deux réels.
  • La fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=ax+bf\left(x\right)=ax+b est une fonction affine.
La fonction x9x\mapsto -9 n'est pas une fonction affine. C'est la fonction constante.
Question 5

La fonction xx2+325x\mapsto \frac{x\sqrt{2}+3^{2}}{5} n'est pas une fonction affine.

Correction
La proposition est fausse.\red{\text{La proposition est fausse.}}
x2+325=x25+325\frac{x\sqrt{2}+3^{2}}{5}=\frac{x\sqrt{2}}{5}+\frac{3^{2}}{5}
x2+325=25x+95\frac{x\sqrt{2}+3^{2}}{5}=\frac{\sqrt{2}}{5}x+\frac{9}{5}

Si aa et bb deux réels.
  • La fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=ax+bf\left(x\right)=ax+b est une fonction affine.
Ici : a=25a=\frac{\sqrt{2}}{5} et b=95b=\frac{9}{5}.
La fonction xx2+325x\mapsto \frac{x\sqrt{2}+3^{2}}{5} est bien une fonction affine.