Inéquations quotients : pour aller plus loin - Exercice 3

Pour résoudre cette inéquation, il faut tout d'abord faire le tableau de signe de l'expression $$\dfrac{\left(2x+1\right)\left(3x-4\right)^{2}}{5x-10}$$.

$$\red{\text{D'une part :}}$$

$$2x+1=0\Leftrightarrow 2x=-1\Leftrightarrow x=-\dfrac{1}{2}$$
Soit $$x\mapsto 2x+1$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=2>0$$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $$2x+1$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=-\dfrac{1}{2}$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)

$$\red{\text{D'autre part :}}$$

$$\left(3x-4\right)^{2}$$ est un carré. Or un carré est toujours positif ou nul. Il s'annule uniquement lorsque $$3x-4=0\Leftrightarrow 3x=4\Leftrightarrow x=\dfrac{4}{3}$$ .
(Cela signifie que l'on mettra le signe $$\left(+\right)$$ partout dans la ligne $$\left(3x-4\right)^{2}$$, sauf pour $$x=\dfrac{4}{3}$$ où l'on mettra $$0$$.)

$$\red{\text{Enfin :}}$$

$$5x-10=0\Leftrightarrow 5x=10\Leftrightarrow x=\dfrac{10}{5}=2$$ . Attention, ici $$x=2$$ est une valeur interdite.
Soit $$x\mapsto 5x-10$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=5>0$$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $$5x-10$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=2$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)
Le tableau du signe du quotient est donné ci-dessous :
(La double barre dans le tableau indique que $$x=2$$ est une valeur interdite)
Maintenant que nous avons le tableau de signe, nous allons pouvoir résoudre l'inéquation $$\dfrac{\left(2x+1\right)\left(3x-4\right)^{2}}{5x-10}\ge0$$. Il nous faut regarder la dernière ligne du tableau de signe. En effet, $$\dfrac{\left(2x+1\right)\left(3x-4\right)^{2}}{5x-10}\ge0$$ signifie que nous cherchons le signe $${\color{red}\text{plus}}$$ dans la dernière ligne du tableau de signe. Comme l'inégalité est large, les valeurs qui annulent le numérateur, $$x=-\dfrac{1}{2}$$ et $$x=\dfrac{4}{3}$$, font partie des solutions. Attention : en $$x=\dfrac{4}{3}$$, le quotient vaut $$0$$ alors qu'il est négatif juste avant et juste après. Cette valeur est donc une solution isolée, que l'on ajoute à l'ensemble des solutions sous la forme $$\left\{\dfrac{4}{3}\right\}$$. Enfin, la valeur interdite $$x=2$$ n'en fait jamais partie (crochet ouvert).
Ainsi :