Inéquations quotients : pour aller plus loin - Exercice 2

Pour résoudre cette inéquation, il faut tout d'abord faire le tableau de signe de l'expression $$\dfrac{2x+1}{5x\left(3x-6\right)^{2}}$$.

$$\red{\text{D'une part :}}$$

$$2x+1=0\Leftrightarrow 2x=-1\Leftrightarrow x=-\dfrac{1}{2}$$
Soit $$x\mapsto 2x+1$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=2>0$$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $$2x+1$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=-\dfrac{1}{2}$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)

$$\red{\text{D'autre part :}}$$

$$5x=0\Leftrightarrow x=0$$ . Attention, ici $$x=0$$ est une valeur interdite.
Soit $$x\mapsto 5x$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=5>0$$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $$5x$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=0$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)

$$\red{\text{Enfin :}}$$

$$\left(3x-6\right)^{2}$$ est un carré. Or un carré est toujours positif ou nul. Il s'annule uniquement lorsque $$3x-6=0\Leftrightarrow 3x=6\Leftrightarrow x=\dfrac{6}{3}=2$$ . Attention, ce carré est au dénominateur : $$x=2$$ est donc une valeur interdite.(Cela signifie que l'on mettra le signe $$\left(+\right)$$ partout dans la ligne $$\left(3x-6\right)^{2}$$, sauf pour $$x=2$$ où l'on mettra $$0$$.)
Le tableau du signe du quotient est donné ci-dessous :
(Les doubles barres dans le tableau indiquent que $$x=0$$ et $$x=2$$ sont des valeurs interdites)
Maintenant que nous avons le tableau de signe, nous allons pouvoir résoudre l'inéquation $$\dfrac{2x+1}{5x\left(3x-6\right)^{2}}\le0$$. Il nous faut regarder la dernière ligne du tableau de signe. En effet, $$\dfrac{2x+1}{5x\left(3x-6\right)^{2}}\le0$$ signifie que nous cherchons le signe $${\color{red}\text{moins}}$$ dans la dernière ligne du tableau de signe. Comme l'inégalité est large, la valeur $$x=-\dfrac{1}{2}$$ qui annule le numérateur fait partie des solutions (crochet fermé). En revanche, les valeurs interdites $$x=0$$ et $$x=2$$ n'en font jamais partie (crochet ouvert).
Ainsi :

Pour résoudre cette inéquation, il faut tout d'abord faire le tableau de signe de l'expression $$\dfrac{4-x}{\left(x+3\right)\left(2x-2\right)^{2}}$$.

$$\red{\text{D'une part :}}$$

$$4-x=0\Leftrightarrow -x=-4\Leftrightarrow x=4$$
Soit $$x\mapsto 4-x$$ est une fonction affine décroissante car son coefficient directeur $$a=-1<0$$. (Cela signifie que la fonction DESCEND donc on commencera dans la ligne $$4-x$$ par le signe $$\left(+\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=4$$ on mettra le signe $$\left(-\right)$$ dans le tableau de signe.)

$$\red{\text{D'autre part :}}$$

$$x+3=0\Leftrightarrow x=-3$$ . Attention, ici $$x=-3$$ est une valeur interdite.
Soit $$x\mapsto x+3$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=1>0$$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $$x+3$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=-3$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)

$$\red{\text{Enfin :}}$$

$$\left(2x-2\right)^{2}$$ est un carré. Or un carré est toujours positif ou nul. Il s'annule uniquement lorsque $$2x-2=0\Leftrightarrow 2x=2\Leftrightarrow x=\dfrac{2}{2}=1$$ . Attention, ce carré est au dénominateur : $$x=1$$ est donc une valeur interdite.(Cela signifie que l'on mettra le signe $$\left(+\right)$$ partout dans la ligne $$\left(2x-2\right)^{2}$$, sauf pour $$x=1$$ où l'on mettra $$0$$.)
Le tableau du signe du quotient est donné ci-dessous :
(Les doubles barres dans le tableau indiquent que $$x=-3$$ et $$x=1$$ sont des valeurs interdites)
Maintenant que nous avons le tableau de signe, nous allons pouvoir résoudre l'inéquation $$\dfrac{4-x}{\left(x+3\right)\left(2x-2\right)^{2}}>0$$. Il nous faut regarder la dernière ligne du tableau de signe. En effet, $$\dfrac{4-x}{\left(x+3\right)\left(2x-2\right)^{2}}>0$$ signifie que nous cherchons le signe $${\color{red}\text{plus}}$$ dans la dernière ligne du tableau de signe. Comme l'inégalité est stricte, la valeur $$x=4$$ qui annule le numérateur ne fait pas partie des solutions, et les valeurs interdites $$x=-3$$ et $$x=1$$ n'en font jamais partie. Attention : le quotient est positif juste avant et juste après $$x=1$$, mais $$x=1$$ est une valeur interdite. Il faut donc l'exclure, ce qui coupe la solution en deux intervalles.
Ainsi :

Pour résoudre cette inéquation, il faut tout d'abord faire le tableau de signe de l'expression $$\dfrac{3x-6}{-2x\left(x+4\right)^{2}}$$.

$$\red{\text{D'une part :}}$$

$$3x-6=0\Leftrightarrow 3x=6\Leftrightarrow x=\dfrac{6}{3}=2$$
Soit $$x\mapsto 3x-6$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=3>0$$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $$3x-6$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=2$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)

$$\red{\text{D'autre part :}}$$

$$-2x=0\Leftrightarrow x=0$$ . Attention, ici $$x=0$$ est une valeur interdite.
Soit $$x\mapsto -2x$$ est une fonction affine décroissante car son coefficient directeur $$a=-2<0$$. (Cela signifie que la fonction DESCEND donc on commencera dans la ligne $$-2x$$ par le signe $$\left(+\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=0$$ on mettra le signe $$\left(-\right)$$ dans le tableau de signe.)

$$\red{\text{Enfin :}}$$

$$\left(x+4\right)^{2}$$ est un carré. Or un carré est toujours positif ou nul. Il s'annule uniquement lorsque $$x+4=0\Leftrightarrow x=-4$$ . Attention, ce carré est au dénominateur : $$x=-4$$ est donc une valeur interdite.(Cela signifie que l'on mettra le signe $$\left(+\right)$$ partout dans la ligne $$\left(x+4\right)^{2}$$, sauf pour $$x=-4$$ où l'on mettra $$0$$.)
Le tableau du signe du quotient est donné ci-dessous :
(Les doubles barres dans le tableau indiquent que $$x=-4$$ et $$x=0$$ sont des valeurs interdites)
Maintenant que nous avons le tableau de signe, nous allons pouvoir résoudre l'inéquation $$\dfrac{3x-6}{-2x\left(x+4\right)^{2}}\ge0$$. Il nous faut regarder la dernière ligne du tableau de signe. En effet, $$\dfrac{3x-6}{-2x\left(x+4\right)^{2}}\ge0$$ signifie que nous cherchons le signe $${\color{red}\text{plus}}$$ dans la dernière ligne du tableau de signe. Comme l'inégalité est large, la valeur $$x=2$$ qui annule le numérateur fait partie des solutions (crochet fermé), mais les valeurs interdites $$x=-4$$ et $$x=0$$ n'en font jamais partie (crochet ouvert).
Ainsi :