Inéquations produits : pour aller plus loin - Exercice 2

Pour résoudre cette inéquation, il faut tout d'abord faire le tableau de signe de l'expression $$\left(x+5\right)\left(2x-3\right)^{2}\left(-x+1\right)$$.

$$\red{\text{D'une part :}}$$

$$x+5=0\Leftrightarrow x=-5$$
Soit $$x\mapsto x+5$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=1>0$$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $$x+5$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=-5$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)

$$\red{\text{D'autre part :}}$$

$$\left(2x-3\right)^{2}$$ est un carré. Or un carré est toujours positif ou nul. Il s'annule uniquement lorsque $$2x-3=0\Leftrightarrow 2x=3\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2}$$.
(Cela signifie que l'on mettra le signe $$\left(+\right)$$ partout dans la ligne $$\left(2x-3\right)^{2}$$, sauf pour $$x=\dfrac{3}{2}$$ où l'on mettra $$0$$.)

$$\red{\text{Enfin :}}$$

$$-x+1=0\Leftrightarrow -x=-1\Leftrightarrow x=1$$
Soit $$x\mapsto -x+1$$ est une fonction affine décroissante car son coefficient directeur $$a=-1<0$$. (Cela signifie que la fonction DESCEND donc on commencera dans la ligne $$-x+1$$ par le signe $$\left(+\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=1$$ on mettra le signe $$\left(-\right)$$ dans le tableau de signe.)
Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :
Maintenant que nous avons le tableau de signe, nous allons pouvoir résoudre l'inéquation $$\left(x+5\right)\left(2x-3\right)^{2}\left(-x+1\right)\ge0$$. Il nous faut regarder la dernière ligne du tableau de signe. En effet, $$\left(x+5\right)\left(2x-3\right)^{2}\left(-x+1\right)\ge0$$ signifie que nous cherchons le signe $${\color{red}\text{plus}}$$ dans la dernière ligne du tableau de signe. Comme l'inégalité est large, les valeurs qui annulent le produit, $$x=-5$$, $$x=1$$ et $$x=\dfrac{3}{2}$$, font partie des solutions. Attention : en $$x=\dfrac{3}{2}$$, le produit vaut $$0$$ alors qu'il est négatif juste avant et juste après. Cette valeur est donc une solution isolée, que l'on ajoute à l'ensemble des solutions sous la forme $$\left\{\dfrac{3}{2}\right\}$$.
Ainsi :

Pour résoudre cette inéquation, il faut tout d'abord faire le tableau de signe de l'expression $$4x\left(x+3\right)^{2}\left(2x-1\right)$$.

$$\red{\text{D'une part :}}$$

$$4x=0\Leftrightarrow x=0$$
Soit $$x\mapsto 4x$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=4>0$$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $$4x$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=0$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)

$$\red{\text{D'autre part :}}$$

$$\left(x+3\right)^{2}$$ est un carré. Or un carré est toujours positif ou nul. Il s'annule uniquement lorsque $$x+3=0\Leftrightarrow x=-3$$.
(Cela signifie que l'on mettra le signe $$\left(+\right)$$ partout dans la ligne $$\left(x+3\right)^{2}$$, sauf pour $$x=-3$$ où l'on mettra $$0$$.)

$$\red{\text{Enfin :}}$$

$$2x-1=0\Leftrightarrow 2x=1\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}$$
Soit $$x\mapsto 2x-1$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=2>0$$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $$2x-1$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=\dfrac{1}{2}$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)
Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :
Maintenant que nous avons le tableau de signe, nous allons pouvoir résoudre l'inéquation $$4x\left(x+3\right)^{2}\left(2x-1\right)\le0$$. Il nous faut regarder la dernière ligne du tableau de signe. En effet, $$4x\left(x+3\right)^{2}\left(2x-1\right)\le0$$ signifie que nous cherchons le signe $${\color{red}\text{moins}}$$ dans la dernière ligne du tableau de signe. Comme l'inégalité est large, les valeurs qui annulent le produit, $$x=-3$$, $$x=0$$ et $$x=\dfrac{1}{2}$$, font partie des solutions. Attention : en $$x=-3$$, le produit vaut $$0$$ alors qu'il est positif juste avant et juste après. Cette valeur est donc une solution isolée, que l'on ajoute à l'ensemble des solutions sous la forme $$\left\{-3\right\}$$.
Ainsi :

Pour résoudre cette inéquation, il faut tout d'abord faire le tableau de signe de l'expression $$\left(-2x+1\right)\left(x+1\right)^{2}\left(-x-3\right)$$.

$$\red{\text{D'une part :}}$$

$$-2x+1=0\Leftrightarrow -2x=-1\Leftrightarrow x=\dfrac{-1}{-2}=\dfrac{1}{2}$$
Soit $$x\mapsto -2x+1$$ est une fonction affine décroissante car son coefficient directeur $$a=-2<0$$. (Cela signifie que la fonction DESCEND donc on commencera dans la ligne $$-2x+1$$ par le signe $$\left(+\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=\dfrac{1}{2}$$ on mettra le signe $$\left(-\right)$$ dans le tableau de signe.)

$$\red{\text{D'autre part :}}$$

$$\left(x+1\right)^{2}$$ est un carré. Or un carré est toujours positif ou nul. Il s'annule uniquement lorsque $$x+1=0\Leftrightarrow x=-1$$.
(Cela signifie que l'on mettra le signe $$\left(+\right)$$ partout dans la ligne $$\left(x+1\right)^{2}$$, sauf pour $$x=-1$$ où l'on mettra $$0$$.)

$$\red{\text{Enfin :}}$$

$$-x-3=0\Leftrightarrow -x=3\Leftrightarrow x=-3$$
Soit $$x\mapsto -x-3$$ est une fonction affine décroissante car son coefficient directeur $$a=-1<0$$. (Cela signifie que la fonction DESCEND donc on commencera dans la ligne $$-x-3$$ par le signe $$\left(+\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=-3$$ on mettra le signe $$\left(-\right)$$ dans le tableau de signe.)
Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :
Maintenant que nous avons le tableau de signe, nous allons pouvoir résoudre l'inéquation $$\left(-2x+1\right)\left(x+1\right)^{2}\left(-x-3\right)<0$$. Il nous faut regarder la dernière ligne du tableau de signe. En effet, $$\left(-2x+1\right)\left(x+1\right)^{2}\left(-x-3\right)<0$$ signifie que nous cherchons le signe $${\color{red}\text{moins}}$$ dans la dernière ligne du tableau de signe. Comme l'inégalité est stricte, les valeurs qui annulent le produit, $$x=-3$$, $$x=-1$$ et $$x=\dfrac{1}{2}$$, ne font pas partie des solutions (crochets ouverts). Attention : le produit est négatif juste avant et juste après $$x=-1$$, mais il vaut $$0$$ en $$x=-1$$. Il faut donc exclure cette valeur, ce qui coupe la solution en deux intervalles.
Ainsi :