Inéquations produits : pour aller plus loin - Exercice 1

Pour résoudre cette inéquation, il faut tout d'abord faire le tableau de signe de l'expression $$\left(x+3\right)\left(2x-4\right)\left(x-5\right)^{2}$$.

$$\red{\text{D'une part :}}$$

$$x+3=0\Leftrightarrow x=-3$$
Soit $$x\mapsto x+3$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=1>0$$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $$x+3$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=-3$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)

$$\red{\text{D'autre part :}}$$

$$2x-4=0\Leftrightarrow 2x=4\Leftrightarrow x=\dfrac{4}{2}=2$$
Soit $$x\mapsto 2x-4$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=2>0$$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $$2x-4$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=2$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)

$$\red{\text{Enfin :}}$$

$$\left(x-5\right)^{2}$$ est un carré. Or un carré est toujours positif ou nul. Il s'annule uniquement lorsque $$x-5=0\Leftrightarrow x=5$$.
(Cela signifie que l'on mettra le signe $$\left(+\right)$$ partout dans la ligne $$\left(x-5\right)^{2}$$, sauf pour $$x=5$$ où l'on mettra $$0$$.)
Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :
Maintenant que nous avons le tableau de signe, nous allons pouvoir résoudre l'inéquation $$\left(x+3\right)\left(2x-4\right)\left(x-5\right)^{2}>0$$. Il nous faut regarder la dernière ligne du tableau de signe. En effet, $$\left(x+3\right)\left(2x-4\right)\left(x-5\right)^{2}>0$$ signifie que nous cherchons le signe $${\color{red}\text{plus}}$$ dans la dernière ligne du tableau de signe. Comme l'inégalité est stricte, les valeurs qui annulent le produit, $$x=-3$$, $$x=2$$ et $$x=5$$, ne font pas partie des solutions (crochets ouverts). Attention : le produit est positif juste avant et juste après $$x=5$$, mais il vaut $$0$$ en $$x=5$$. Il faut donc exclure cette valeur, ce qui coupe la solution en deux intervalles $$\left]2;5\right[$$ et $$\left]5;+\infty\right[$$.
Ainsi :

Pour résoudre cette inéquation, il faut tout d'abord faire le tableau de signe de l'expression $$\left(-x+4\right)\left(3x-3\right)\left(x+2\right)^{2}$$.

$$\red{\text{D'une part :}}$$

$$-x+4=0\Leftrightarrow -x=-4\Leftrightarrow x=4$$
Soit $$x\mapsto -x+4$$ est une fonction affine décroissante car son coefficient directeur $$a=-1<0$$. (Cela signifie que la fonction DESCEND donc on commencera dans la ligne $$-x+4$$ par le signe $$\left(+\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=4$$ on mettra le signe $$\left(-\right)$$ dans le tableau de signe.)

$$\red{\text{D'autre part :}}$$

$$3x-3=0\Leftrightarrow 3x=3\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{3}=1$$
Soit $$x\mapsto 3x-3$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=3>0$$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $$3x-3$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=1$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)

$$\red{\text{Enfin :}}$$

$$\left(x+2\right)^{2}$$ est un carré. Or un carré est toujours positif ou nul. Il s'annule uniquement lorsque $$x+2=0\Leftrightarrow x=-2$$.
(Cela signifie que l'on mettra le signe $$\left(+\right)$$ partout dans la ligne $$\left(x+2\right)^{2}$$, sauf pour $$x=-2$$ où l'on mettra $$0$$.)
Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :
Maintenant que nous avons le tableau de signe, nous allons pouvoir résoudre l'inéquation $$\left(-x+4\right)\left(3x-3\right)\left(x+2\right)^{2}\le0$$. Il nous faut regarder la dernière ligne du tableau de signe. En effet, $$\left(-x+4\right)\left(3x-3\right)\left(x+2\right)^{2}\le0$$ signifie que nous cherchons le signe $${\color{red}\text{moins}}$$ dans la dernière ligne du tableau de signe. Comme l'inégalité est large, les valeurs qui annulent le produit, $$x=-2$$, $$x=1$$ et $$x=4$$, font partie des solutions (crochets fermés). Le produit est négatif sur $$\left]-\infty;-2\right[$$ et sur $$\left]-2;1\right[$$, et il vaut $$0$$ en $$x=-2$$ : ces deux morceaux se rejoignent donc en un seul intervalle $$\left]-\infty;1\right]$$.
Ainsi :

Pour résoudre cette inéquation, il faut tout d'abord faire le tableau de signe de l'expression $$\left(x-1\right)^{2}\left(2x+8\right)\left(-x+3\right)$$.

$$\red{\text{D'une part :}}$$

$$\left(x-1\right)^{2}$$ est un carré. Or un carré est toujours positif ou nul. Il s'annule uniquement lorsque $$x-1=0\Leftrightarrow x=1$$.
(Cela signifie que l'on mettra le signe $$\left(+\right)$$ partout dans la ligne $$\left(x-1\right)^{2}$$, sauf pour $$x=1$$ où l'on mettra $$0$$.)

$$\red{\text{D'autre part :}}$$

$$2x+8=0\Leftrightarrow 2x=-8\Leftrightarrow x=\dfrac{-8}{2}=-4$$
Soit $$x\mapsto 2x+8$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=2>0$$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $$2x+8$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=-4$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)

$$\red{\text{Enfin :}}$$

$$-x+3=0\Leftrightarrow -x=-3\Leftrightarrow x=3$$
Soit $$x\mapsto -x+3$$ est une fonction affine décroissante car son coefficient directeur $$a=-1<0$$. (Cela signifie que la fonction DESCEND donc on commencera dans la ligne $$-x+3$$ par le signe $$\left(+\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=3$$ on mettra le signe $$\left(-\right)$$ dans le tableau de signe.)
Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :
Maintenant que nous avons le tableau de signe, nous allons pouvoir résoudre l'inéquation $$\left(x-1\right)^{2}\left(2x+8\right)\left(-x+3\right)<0$$. Il nous faut regarder la dernière ligne du tableau de signe. En effet, $$\left(x-1\right)^{2}\left(2x+8\right)\left(-x+3\right)<0$$ signifie que nous cherchons le signe $${\color{red}\text{moins}}$$ dans la dernière ligne du tableau de signe. Comme l'inégalité est stricte, les valeurs qui annulent le produit, $$x=-4$$, $$x=1$$ et $$x=3$$, ne font pas partie des solutions (crochets ouverts). Ici, la valeur $$x=1$$ qui annule le carré ne change rien : autour de $$x=1$$, le produit est positif, donc cette partie du tableau n'intervient pas dans les solutions.
Ainsi :