Exercices types : $$3$$^ème partie - Exercice 1

Les frais de création sont de $$10$$ $$000$$ euros et ensuite chaque Tee-shirt coûtera $$2,5$$ euros.
Il en résulte donc que :

Chaque tee-shirt étant vendu $$7,5$$ euros, il en résulte donc que $$R\left(x\right)=7,5\times x$$ que l'on peut écrire également

On nous indique que le bénéfice est égal à la recette moins les coûts de production.
Cela signifie donc que :
$$B\left(x\right)=R\left(x\right)-C\left(x\right)$$
$$B\left(x\right)=7,5x-\left(10000+2,5x\right)$$ . Ici , nous n'oublions pas de changer les signes, à l'étape suivante car nous avons le signe moins devant la parenthèse.
$$B\left(x\right)=7,5x-10000-2,5x$$

Nous savons que : $$B\left(x\right)=5x-10000$$ Ici, le coefficient directeur vaut $$a=5>0$$. Il en résulte donc que la fonction $$x\mapsto 5x-10000$$ est une fonction croissante.
Le tableau de variation de la fonction $$f$$ est donnée ci-dessous :
Ici nous travaillons sur l'intervalle $$\left[0;+\infty\right[$$ car une production de tee-shirts n'est vrai que pour des $$x$$ positifs.

1^ère étape : Résoudre l'équation $$B\left(x\right)=0$$
$$B\left(x\right)=0$$ équivaut successivement à :
$$5x-10000=0$$
$$5x=10000$$
$$x=\frac{10000}{5}$$

2^ème étape : Donner le sens de variation de la fonction $$B$$.
Soit $$x\mapsto 5x-10000$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=5>0$$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $$5x-10000$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=2000$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)
3^ème étape : Dresser le tableau de signe de $$B$$.
Nous remettons ici l'information vue à la deuxième étape pour bien comprendre. Soit $$x\mapsto 5x-10000$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=5>0$$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $$5x-10000$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=2000$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)

On réalisera un bénéficie lorsque la fonction $$B\left(x\right)$$ sera positive.
Nous redonnons ci-dessous le tableau de signe de la fonction $$B\left(x\right)$$ obtenue à la question $$5$$. A partir de $$2000$$ tee-shirts, la société réalise un bénéfice.