Fonctions affines. Tableaux de signes . Inéquations produit et Inéquations quotient

Exercices types : 22ème partie - Exercice 3

30 min
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Question 1
Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(1)=6f\left(1\right)=-6 et f(3)=2f\left(3\right)=-2 . On note (d)\left(d\right) sa droite représentative dans un repère orthonormé.

Déterminer l'expression affine de ff.

Correction
Nous savons que f(1)=6f\left(1\right)=-6 et f(3)=2f\left(3\right)=-2 .
ff est une fonction affine d’où pour tout réel xx, on a : f(x)=ax+bf\left(x\right)=ax+b.
1ère étape : Calcul du coefficient directeur aa.
a=f(1)f(3)13a=\frac{f\left(1 \right)-f\left(3 \right)}{1-3 }
a=6(2)13a=\frac{-6-\left(-2\right)}{1-3 }
a=42a=\frac{-4}{-2 }
a=2a=2

Ainsi : f(x)=2x+bf\left(x\right)=2x+b
2ème étape : Calcul de l'ordonnée à l'origine bb.
Nous savons que f(1)=6f\left(1\right)=-6 et comme f(x)=2x+bf\left(x\right)=2x+b, il en résulte donc que :
2×1+b=62\times1+b=-6 équivaut successivement à :
2+b=62+b=-6
b=62b=-6-2
b=8b=-8

Finalement, ff est la fonction définie sur R\mathbb{R} par : f(x)=2x8f\left(x\right)=2x-8.
Question 2

Calculer l'image de 77 par ff.

Correction
Nous savons que f(x)=2x8f\left(x\right)=2x-8 .
Il nous faut calculer f(7)f\left(7\right).
f(7)=2×78f\left(7\right)=2\times7-8
f(7)=148f\left(7\right)=14-8
f(7)=6f\left(7\right)=6

L'image de 77 par ff vaut 66.
Question 3

Déterminer l'antécédent de 1010 par ff.

Correction
Il nous faut résoudre l'équation f(x)=10f\left(x\right)=10.
f(x)=10f\left(x\right)=10 équivaut successivement à :
2x8=102x-8=10
2x=10+82x=10+8
2x=182x=18
x=182x=\frac{18}{2}
x=9x=9

L'antécédent de 1010 par ff est alors x=9x=9.
Question 4

Résoudre l'inéquation f(x)0f\left(x\right)\ge 0

Correction
f(x)0f\left(x\right)\ge 0 équivaut successivement à :
2x802x-8\ge 0
2x82x\ge 8
x82x\ge \frac{8}{2}
x4x\ge 4

Ainsi : S=[4;+[S=\left[4;+\infty \right[
Question 5

Etablir le tableau de variation de la fonction ff.

Correction
ff est la fonction définie sur R\mathbb{R} par : f(x)=2x8f\left(x\right)=2x-8.

Si aa et bb deux réels.
  • Si aa est positif, la fonction affine ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=ax+bf\left(x\right)=ax+b est croissante.
  • Si aa est négatif, la fonction affine ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=ax+bf\left(x\right)=ax+b est décroissante.
Ici, le coefficient directeur vaut a=2>0a=2>0. Il en résulte donc que la fonction x2x8x\mapsto 2x-8 est une fonction croissante.
Le tableau de variation de la fonction ff est donnée ci-dessous :
Question 6

Etablir le tableau de signe de la fonction ff.

Correction
1ère étape : Résoudre l'équation f(x)=0f\left(x\right)=0
f(x)=0f\left(x\right)=0 équivaut successivement à :
2x8=02x-8=0
2x=82x=8
x=82x=\frac{8}{2}
x=4x=4

2ème étape : Donner le sens de variation de la fonction ff.
En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.
Soit x2x8x\mapsto 2x-8 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=2>0a=2>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne 2x82x-8 par le signe ()\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=4x=4 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
3ème étape : Dresser le tableau de signe de ff.
Nous remettons ici l'information vue à la deuxième étape pour bien comprendre. Soit x2x8x\mapsto 2x-8 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=2>0a=2>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne 2x82x-8 par le signe ()\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=4x=4 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
Question 7

Représenter la fonction ff dans un repère orthonormé.

Correction
Question 8

Le point A(5;2)A\left(5;2\right) appartient-il à la droite représentative de la fonction ff.

Correction
Nous savons que f(x)=2x8f\left(x\right)=2x-8 .
Le point A(5;2)A\left(5;2\right) appartient à (d)\left(d\right) si et seulement si f(5)=2f\left(5\right)=2.
f(5)=2×58f\left(5\right)=2\times5-8
f(5)=108f\left(5\right)=10-8
f(5)=2f\left(5\right)=2

Le point A(5;2)A\left(5;2\right) appartient bien à (d)\left(d\right) .