Exercices types : $$2$$^ème partie - Exercice 3

Nous savons que $$f\left(1\right)=-6$$ et $$f\left(3\right)=-2$$ .
$$f$$ est une fonction affine d’où pour tout réel $$x$$, on a : $$f\left(x\right)=ax+b$$.
1^ère étape : Calcul du coefficient directeur $$a$$.
$$a=\frac{f\left(1 \right)-f\left(3 \right)}{1-3 }$$
$$a=\frac{-6-\left(-2\right)}{1-3 }$$
$$a=\frac{-4}{-2 }$$

Ainsi : $$f\left(x\right)=2x+b$$
2^ème étape : Calcul de l'ordonnée à l'origine $$b$$.
Nous savons que $$f\left(1\right)=-6$$ et comme $$f\left(x\right)=2x+b$$, il en résulte donc que :
$$2\times1+b=-6$$ équivaut successivement à :
$$2+b=-6$$
$$b=-6-2$$

Finalement, $$f$$ est la fonction définie sur $$\mathbb{R}$$ par : $$f\left(x\right)=2x-8$$.

Nous savons que $$f\left(x\right)=2x-8$$ .
Il nous faut calculer $$f\left(7\right)$$.
$$f\left(7\right)=2\times7-8$$
$$f\left(7\right)=14-8$$

L'image de $$7$$ par $$f$$ vaut $$6$$.

Il nous faut résoudre l'équation $$f\left(x\right)=10$$.
$$f\left(x\right)=10$$ équivaut successivement à :
$$2x-8=10$$
$$2x=10+8$$
$$2x=18$$
$$x=\frac{18}{2}$$

L'antécédent de $$10$$ par $$f$$ est alors $$x=9$$.

$$f\left(x\right)\ge 0$$ équivaut successivement à :
$$2x-8\ge 0$$
$$2x\ge 8$$
$$x\ge \frac{8}{2}$$

Ainsi : $$S=\left[4;+\infty \right[$$

$$f$$ est la fonction définie sur $$\mathbb{R}$$ par : $$f\left(x\right)=2x-8$$.Ici, le coefficient directeur vaut $$a=2>0$$. Il en résulte donc que la fonction $$x\mapsto 2x-8$$ est une fonction croissante.
Le tableau de variation de la fonction $$f$$ est donnée ci-dessous :

1^ère étape : Résoudre l'équation $$f\left(x\right)=0$$
$$f\left(x\right)=0$$ équivaut successivement à :
$$2x-8=0$$
$$2x=8$$
$$x=\frac{8}{2}$$

2^ème étape : Donner le sens de variation de la fonction $$f$$.
Soit $$x\mapsto 2x-8$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=2>0$$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $$2x-8$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=4$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)
3^ème étape : Dresser le tableau de signe de $$f$$.
Nous remettons ici l'information vue à la deuxième étape pour bien comprendre. Soit $$x\mapsto 2x-8$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=2>0$$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $$2x-8$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=4$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)

Nous savons que $$f\left(x\right)=2x-8$$ .
Le point $$A\left(5;2\right)$$ appartient à $$\left(d\right)$$ si et seulement si $$f\left(5\right)=2$$.
$$f\left(5\right)=2\times5-8$$
$$f\left(5\right)=10-8$$

Le point $$A\left(5;2\right)$$ appartient bien à $$\left(d\right)$$ .