Fonctions affines. Tableaux de signes . Inéquations produit et Inéquations quotient
Exercices types : 2ème partie
Exercice 1
La droite (D1) est une fonction affine de la forme y=ax+b . L'ordonnée à l'origine b est le point d'intersection entre l'axe des ordonnées et la droite (D1). Nous pouvons facilement lire ici que .
Pour déterminer le coefficient directeur de la droite (D1), nous remarquons que les points A(0;−4) et B(1;0) appartiennent à la droite (D1). Nous pouvons donc calculer le coefficient directeur de la droite (D1) à l'aide de la formule suivante :
a=xB−xAyB−yA=1−00−(−4)=4 . Finalement, la fonction affine associée à la droite (D1) est de la forme : La droite (D3) est une fonction affine de la forme y=ax+b . L'ordonnée à l'origine b est le point d'intersection entre l'axe des ordonnées et la droite (D1). Nous pouvons facilement lire ici que .
Pour déterminer le coefficient directeur de la droite (D3), nous remarquons que les points C(0;1) et D(2;−3) appartiennent à la droite (D3). Nous pouvons donc calculer le coefficient directeur de la droite (D3) à l'aide de la formule suivante :
a=xD−xCyD−yC=2−0−3−1=−2 . Finalement, la fonction affine associée à la droite (D3) est de la forme : Une droite parallèle à l’axe des ordonnées ou verticale n’a pas de coefficient directeur. Ce qui signifie que tous les points de la droite (D2) ont la même abscisse .Une droite parallèle à l'axe des abscisses est horizontale et est donc de pente nulle. Donc, son coefficient directeur est nul : a=0. Ce qui signifie que tous les points de la droite (D4) ont la même ordonnée . Exercice 2
1
Quel prix paiera-t-il avec chaque tarif, s’il va au laser game deux fois par mois, pendant une année? Quel tarif sera intéressant dans ce cas?
Calcul du prix a payé pour 2 fois par mois, c'est à dire 24 entrées, avec le tarif 1 : 120 euros.
Calcul du prix a payé pour 2 fois par mois, c'est à dire 24 entrées, avec le tarif 2 : 30+1,5×24=66 euros.
Calcul du prix a payé pour 2 fois par mois, c'est à dire 24 entrées, avec le tarif 3 : 3×24=72 euros.
On peut en conclure, que le tarif
2 est le plus intéressant, s'il va au laser game deux fois par mois pendant un an.
2
Exprimer, en fonction de
x :
t1(x) le prix qu’il paiera avec le tarif 1 t2(x) le prix qu’il paiera avec le tarif 2 t3(x) le prix qu’il paiera avec le tarif 3
Le tarif 1 : propose un abonnement à 120 euros pour un an, pour un nombre illimité d’entrées. Donc pour x entrées , nous aurons : t1(x)=120 Le tarif 2 : propose un abonnement avec une carte de fidélité à 30 euros par an puis 1,50 euros par entrée. Donc pour x entrées , nous aurons : t2(x)=30+1,5×x Le tarif 3 : propose un abonnement à 3 euros par entrée. Donc pour x entrées , nous aurons : t3(x)=3x 3
Représenter sur un graphique ces trois fonctions, pour des valeurs de
x de
0 à
120. Puis quel est selon le nombre d’entrées annuelles le tarif le plus avantageux .
D'après le graphique :
Pour moins de 20 entrées annuelle, le tarif 3 est plus avantageux. Pour un nombre d’entrées annuelles compris entre 20 et 60, le tarif 2 est plus avantageux. Au delà de 60 entrées annuelles, le tarif 1 est plus avantageux.Exercice 3
1
Déterminer l'expression affine de
f.
Nous savons que
f(1)=−6 et
f(3)=−2 .
f est une fonction affine d’où pour tout réel
x, on a :
f(x)=ax+b.
1ère étape : Calcul du coefficient directeur
a.
a=1−3f(1)−f(3)a=1−3−6−(−2)a=−2−4 Ainsi :
f(x)=2x+b2ème étape : Calcul de l'ordonnée à l'origine
b.
Nous savons que
f(1)=−6 et comme
f(x)=2x+b, il en résulte donc que :
2×1+b=−6 équivaut successivement à :
2+b=−6b=−6−2 Finalement,
f est la fonction définie sur
R par :
f(x)=2x−8.
2
Calculer l'image de
7 par
f.
Nous savons que
f(x)=2x−8 .
Il nous faut calculer
f(7).
f(7)=2×7−8f(7)=14−8 f(7)=6 L'image de
7 par
f vaut
6.
3
Déterminer l'antécédent de
10 par
f.
Il nous faut résoudre l'équation
f(x)=10.
f(x)=10 équivaut successivement à :
2x−8=102x=10+82x=18x=218 L'antécédent de
10 par
f est alors
x=9.
4
Résoudre l'inéquation
f(x)≥0
f(x)≥0 équivaut successivement à :
2x−8≥02x≥8x≥28 Ainsi :
S=[4;+∞[ 5
Etablir le tableau de variation de la fonction
f.
f est la fonction définie sur
R par :
f(x)=2x−8.
Si
a et
b deux réels.
- Si a est positif, la fonction affine f définie sur R par f(x)=ax+b est croissante.
- Si a est négatif, la fonction affine f définie sur R par f(x)=ax+b est décroissante.
Ici, le
coefficient directeur vaut
a=2>0. Il en résulte donc que la fonction
x↦2x−8 est une fonction
croissante.
Le tableau de variation de la fonction
f est donnée ci-dessous :
6
Etablir le tableau de signe de la fonction
f.
1ère étape : Résoudre l'équation
f(x)=0f(x)=0 équivaut successivement à :
2x−8=02x=8x=28 2ème étape : Donner le sens de variation de la fonction
f.
En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.
Soit
x↦2x−8 est une fonction affine
croissante car son coefficient directeur
a=2>0.
(Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne 2x−8 par le signe (−) et dès que l'on dépasse la valeur x=4 on mettra le signe (+) dans le tableau de signe.)3ème étape : Dresser le tableau de signe de
f.
Nous remettons ici l'information vue à la deuxième étape pour bien comprendre. Soit
x↦2x−8 est une fonction affine
croissante car son coefficient directeur
a=2>0.
(Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne 2x−8 par le signe (−) et dès que l'on dépasse la valeur x=4 on mettra le signe (+) dans le tableau de signe.) 7
Représenter la fonction
f dans un repère orthonormé.
8
Le point
A(5;2) appartient-il à la droite représentative de la fonction
f.
Nous savons que
f(x)=2x−8 .
Le point
A(5;2) appartient à
(d) si et seulement si
f(5)=2.
f(5)=2×5−8f(5)=10−8 f(5)=2 Le point
A(5;2) appartient bien à
(d) .
