La droite (D1) est une fonction affine de la forme y=ax+b . L'ordonnée à l'origine b est le point d'intersection entre l'axe des ordonnées et la droite (D1). Nous pouvons facilement lire ici que
b=−4
. Pour déterminer le coefficient directeur de la droite (D1), nous remarquons que les points A(0;−4) et B(1;0) appartiennent à la droite (D1). Nous pouvons donc calculer le coefficient directeur de la droite (D1) à l'aide de la formule suivante : a=xB−xAyB−yA=1−00−(−4)=4 . Finalement, la fonction affine associée à la droite (D1) est de la forme :
y=4x−4
La droite (D3) est une fonction affine de la forme y=ax+b . L'ordonnée à l'origine b est le point d'intersection entre l'axe des ordonnées et la droite (D1). Nous pouvons facilement lire ici que
b=1
. Pour déterminer le coefficient directeur de la droite (D3), nous remarquons que les points C(0;1) et D(2;−3) appartiennent à la droite (D3). Nous pouvons donc calculer le coefficient directeur de la droite (D3) à l'aide de la formule suivante : a=xD−xCyD−yC=2−0−3−1=−2 . Finalement, la fonction affine associée à la droite (D3) est de la forme :
y=−2x+1
Une droite parallèle à l’axe des ordonnées ou verticale n’a pas de coefficient directeur. Ce qui signifie que tous les points de la droite (D2) ont la même abscisse
x=−1
.
Une droite parallèle à l'axe des abscisses est horizontale et est donc de pente nulle. Donc, son coefficient directeur est nul : a=0. Ce qui signifie que tous les points de la droite (D4) ont la même ordonnée
y=3
.
Exercice 2
Adil décide d’aller régulièrement avec ses copains au laser Game pendant l'année . Voici les tarifs proposés pour une partie de 15 minutes :
tarif 1 : 120 euros pour un an, nombre illimité d’entrées;
tarif 2 : 30 euros la carte de fidélité par an puis 1,50 euros par entrée;
tarif 3 : 3 euros la partie ;
1
Quel prix paiera-t-il avec chaque tarif, s’il va au laser game deux fois par mois, pendant une année? Quel tarif sera intéressant dans ce cas?
Correction
Calcul du prix a payé pour 2 fois par mois, c'est à dire 24 entrées, avec le tarif 1 :120 euros. Calcul du prix a payé pour 2 fois par mois, c'est à dire 24 entrées, avec le tarif 2 :30+1,5×24=66 euros. Calcul du prix a payé pour 2 fois par mois, c'est à dire 24 entrées, avec le tarif 3 :3×24=72 euros. On peut en conclure, que le tarif 2 est le plus intéressant, s'il va au laser game deux fois par mois pendant un an.
On appelle x le nombre de fois où Adil ira au laser Game.
2
Exprimer, en fonction de x :
t1(x) le prix qu’il paiera avec le tarif 1
t2(x) le prix qu’il paiera avec le tarif 2
t3(x) le prix qu’il paiera avec le tarif 3
Correction
Le tarif 1 : propose un abonnement à 120 euros pour un an, pour un nombre illimité d’entrées. Donc pour x entrées , nous aurons :
t1(x)=120
Le tarif 2 : propose un abonnement avec une carte de fidélité à 30 euros par an puis 1,50 euros par entrée. Donc pour x entrées , nous aurons :
t2(x)=30+1,5×x
Le tarif 3 : propose un abonnement à 3 euros par entrée. Donc pour x entrées , nous aurons :
t3(x)=3x
3
Représenter sur un graphique ces trois fonctions, pour des valeurs de x de 0 à 120. Puis quel est selon le nombre d’entrées annuelles le tarif le plus avantageux .
Correction
D'après le graphique :
Pour moins de 20 entrées annuelle, le tarif 3 est plus avantageux.
Pour un nombre d’entrées annuelles compris entre 20 et 60, le tarif 2 est plus avantageux.
Au delà de 60 entrées annuelles, le tarif 1 est plus avantageux.
Exercice 3
Soit f la fonction définie sur R par f(1)=−6 et f(3)=−2 . On note (d) sa droite représentative dans un repère orthonormé.
1
Déterminer l'expression affine de f.
Correction
Nous savons que f(1)=−6 et f(3)=−2 . f est une fonction affine d’où pour tout réel x, on a : f(x)=ax+b. 1ère étape : Calcul du coefficient directeur a. a=1−3f(1)−f(3) a=1−3−6−(−2) a=−2−4
a=2
Ainsi : f(x)=2x+b 2ème étape : Calcul de l'ordonnée à l'origine b. Nous savons que f(1)=−6 et comme f(x)=2x+b, il en résulte donc que : 2×1+b=−6 équivaut successivement à : 2+b=−6 b=−6−2
b=−8
Finalement, f est la fonction définie sur R par : f(x)=2x−8.
2
Calculer l'image de 7 par f.
Correction
Nous savons que f(x)=2x−8 . Il nous faut calculer f(7). f(7)=2×7−8 f(7)=14−8
f(7)=6
L'image de 7 par f vaut 6.
3
Déterminer l'antécédent de 10 par f.
Correction
Il nous faut résoudre l'équation f(x)=10. f(x)=10 équivaut successivement à : 2x−8=10 2x=10+8 2x=18 x=218
x=9
L'antécédent de 10 par f est alors x=9.
4
Résoudre l'inéquation f(x)≥0
Correction
f(x)≥0 équivaut successivement à : 2x−8≥0 2x≥8 x≥28
x≥4
Ainsi : S=[4;+∞[
5
Etablir le tableau de variation de la fonction f.
Correction
f est la fonction définie sur R par : f(x)=2x−8.
Si a et b deux réels.
Si a est positif, la fonction affine f définie sur R par f(x)=ax+b est croissante.
Si a est négatif, la fonction affine f définie sur R par f(x)=ax+b est décroissante.
Ici, le coefficient directeur vaut a=2>0. Il en résulte donc que la fonction x↦2x−8 est une fonction croissante. Le tableau de variation de la fonction f est donnée ci-dessous :
2ème étape : Donner le sens de variation de la fonction f.
En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.
Soit x↦2x−8 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=2>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne 2x−8 par le signe (−) et dès que l'on dépasse la valeur x=4 on mettra le signe (+) dans le tableau de signe.) 3ème étape : Dresser le tableau de signe de f.
Nous remettons ici l'information vue à la deuxième étape pour bien comprendre. Soit x↦2x−8 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=2>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne 2x−8 par le signe (−) et dès que l'on dépasse la valeur x=4 on mettra le signe (+) dans le tableau de signe.)
7
Représenter la fonction f dans un repère orthonormé.
Correction
8
Le point A(5;2) appartient-il à la droite représentative de la fonction f.
Correction
Nous savons que f(x)=2x−8 . Le point A(5;2) appartient à (d) si et seulement si f(5)=2. f(5)=2×5−8 f(5)=10−8
f(5)=2
Le point A(5;2) appartient bien à (d) .
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