Exercices types : $$1$$^ère partie - Exercice 4

On commence par calculer les vecteurs $$\overrightarrow{AB}$$ et $$\overrightarrow{AC}$$. Ainsi :
$$\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {x_{B}-x_{A}} \\ {y_{B}-y_{A}} \end{array}\right)$$ ainsi $$\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {-5-3} \\ {2-4} \end{array}\right)$$ d'où : $$\overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c} {-8} \\ {-2} \end{array}\right)$$
$$\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {x_{C}-x_{A}} \\ {y_{C}-y_{A}} \end{array}\right)$$ ainsi $$\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {1-3} \\ {-4-4} \end{array}\right)$$ d'où : $$\overrightarrow{AC} \left(\begin{array}{c} {-2} \\ {-8} \end{array}\right)$$
Maintenant , nous allons vérifier si les vecteurs $$\overrightarrow{AB}$$ et $$\overrightarrow{AC}$$ sont colinéaires.
On a : $$-8\times \left(-8\right)-\left(-2\right)\times\left(-2\right)=64-4=60\ne 0$$
Les vecteurs $$\overrightarrow{AB}$$ et $$\overrightarrow{AC}$$ ne sont pas colinéaires. Donc les points $$A$$, $$B$$ et $$C$$ ne sont pas alignés.

Il vient alors que :
$$\red{\text{D'une part :}}$$
$$x_{I} =\frac{x_{A} +x_{B} }{2}$$ équivaut successivement à :
$$x_{I} =\frac{3-5 }{2}$$
$$x_{I} =\frac{-2}{2}$$

$$\red{\text{D'autre part :}}$$
$$y_{I} =\frac{y_{A} +y_{B} }{2}$$
$$y_{I} =\frac{4+2}{2}$$
$$y_{I} =\frac{6}{2}$$

Les coordonnées du milieu $$I$$ du segment $$\left[AB\right]$$ sont $$I\left(-1;3 \right)$$

Il vient alors que :
$$\red{\text{D'une part :}}$$
$$x_{J} =\frac{x_{A} +x_{C} }{2}$$ équivaut successivement à :
$$x_{J} =\frac{3+1 }{2}$$
$$x_{J} =\frac{4}{2}$$

$$\red{\text{D'autre part :}}$$
$$y_{J} =\frac{y_{A} +y_{C} }{2}$$
$$y_{J} =\frac{4-4}{2}$$
$$y_{J} =\frac{0}{2}$$

Les coordonnées du milieu $$J$$ du segment $$\left[AC\right]$$ sont $$J\left(2;0 \right)$$

Soient les points $$C\left(1;-4\right)$$ et $$I\left(-1;3 \right)$$
La droite $$\left(CI\right)$$ d'équation $$y=ax+b$$ représente la fonction affine définie par, pour tout réel $$x$$, $$f\left(x\right)=ax+b$$.
1^ère étape : Calcul du coefficient directeur $$a$$.
$$a=\frac{y_{C}-y_{I}}{x_{C}-x_{I}}$$
$$a=\frac{-4-3}{1-\left(-1\right) }$$

Ainsi : $$f\left(x\right)=-\frac{7}{2}x+b$$
2^ème étape : Calcul de l'ordonnée à l'origine $$b$$.
Nous savons que le point $$C\left(1;-4\right)$$ appartient à la droite recherchée. Cela signifie donc que $$f\left(x_{C}\right)=-\frac{7}{2}x_{C}+b$$ ou encore $$y_{C}=-\frac{7}{2}x_{C}+b$$.
Il vient alors que :
$$-4=-\frac{7}{2}\times1+b$$ équivaut successivement à :
$$-\frac{7}{2}\times1+b=-4$$
$$b=-4+\frac{7}{2}$$

Finalement, l'expression de la droite $$\left(CI\right)$$ est :

Soient les points $$B\left(-5;2\right)$$ et $$J\left(2;0 \right)$$
La droite $$\left(BJ\right)$$ d'équation $$y=ax+b$$ représente la fonction affine définie par, pour tout réel $$x$$, $$f\left(x\right)=ax+b$$.
1^ère étape : Calcul du coefficient directeur $$a$$.
$$a=\frac{y_{B}-y_{J}}{x_{B}-x_{J}}$$
$$a=\frac{2-0}{-5-2 }$$

Ainsi : $$f\left(x\right)=-\frac{2}{7}x+b$$
2^ème étape : Calcul de l'ordonnée à l'origine $$b$$.
Nous savons que le point $$J\left(2;0 \right)$$ appartient à la droite recherchée. Cela signifie donc que $$f\left(x_{J}\right)=-\frac{7}{2}x_{J}+b$$ ou encore $$y_{J}=-\frac{2}{7}x_{J}+b$$.
Il vient alors que :
$$0=-\frac{2}{7}\times2+b$$ équivaut successivement à :
$$-\frac{2}{7}\times2+b=0$$
$$-\frac{4}{7}+b=0$$

Finalement, l'expression de la droite $$\left(BJ\right)$$ est :

L'expression de la droite $$\left(BJ\right)$$ est : . Le coefficient directeur de la droite $$\left(BJ\right)$$ est $$-\frac{2}{7}$$ .
L'expression de la droite $$\left(CI\right)$$ est : . Le coefficient directeur de la droite $$\left(CI\right)$$ est $$-\frac{7}{2}$$ .
Les coefficients directeurs ne sont pas égaux, il en résulte donc que les droites $$\left(BJ\right)$$ et $$\left(CI\right)$$ ne sont pas parallèles. Elles sont donc sécantes.

Comme les droites $$\left(BJ\right)$$ et $$\left(CI\right)$$ sont sécantes, elles admettent un point d'intersection.
L'expression de la droite $$\left(BJ\right)$$ est :
L'expression de la droite $$\left(CI\right)$$ est :
Pour déterminer les coordonnées de celui-ci, il nous faut résoudre le système suivant :
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {y} & {=} & {-\frac{2}{7}x+\frac{4}{7}} \\ {y} & {=} & {-\frac{7}{2}x-\frac{1}{2}} \end{array}\right.$$
Ainsi :
$$-\frac{2}{7}x+\frac{4}{7}=-\frac{7}{2}x-\frac{1}{2}$$. Comme nous avons que des fractions, nous allons tout mettre au même dénominateur.
$$-\frac{2\times2}{7\times2}x+\frac{4\times2}{7\times2}=-\frac{7\times7}{2\times7}x-\frac{1\times7}{2\times7}$$
$$-\frac{4}{14}x+\frac{8}{14}=-\frac{49}{14}x-\frac{7}{14}$$
$$-\frac{4}{14}x+\frac{8}{14}=-\frac{49}{14}x-\frac{7}{14}$$ équivaut à :
$$-4x+8=-49x-7$$
$$-4x+49x=-7-8$$
$$45x=-15$$
$$x=-\frac{15}{45}$$

Il nous reste à déterminer l'ordonnée du point d'intersection.
L'expression de la droite $$\left(BJ\right)$$ est :
L'expression de la droite $$\left(CI\right)$$ est :
Nous allons remplacer $$x$$ par $$-\frac{1}{3}$$ dans chaune des droites et il nous impérativement trouver la même valeur de $$y$$.
Avec la droite $$\left(BJ\right)$$, on a : $$y=-\frac{2}{7}\times \left(-\frac{1}{3}\right)+\frac{4}{7}$$ ainsi
Avec la droite $$\left(CI\right)$$, on a : $$y=-\frac{7}{2}\times \left(-\frac{1}{3}\right)-\frac{1}{2}$$ ainsi
Finalement, les coordonnées du point d'intersection $$M$$ des droites $$\left(BJ\right)$$ et $$\left(CI\right)$$ est $$M\left(-\frac{1}{3};\frac{2}{3}\right)$$.