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Fonctions affines. Tableaux de signes . Inéquations produit et Inéquations quotient

Etude du signe d'un quotient - Exercice 2

25 min
40
Etablir le tableau de signe pour chacune des fonctions suivantes :
Question 1

f(x)=6x−245x+10f\left(x\right)=\frac{6x-24}{5x+10}

Correction

Pour étudier le signe d'un quotient :
  • On cherche les valeurs qui annulent le dénominateur. (valeurs interdites)
  • On étudie le signe du numérateur et du dénominateur et on regroupe dans un tableau le signe de chaque terme.
  • On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne.
En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}}
    • 6x−24=0⇔6x=24⇔x=246=46x-24=0\Leftrightarrow 6x=24\Leftrightarrow x=\frac{24}{6}=4
    Soit x↦6x−24x\mapsto 6x-24 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=6>0a=6>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne 6x−246x-24 par le signe (−)\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=4x=4 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
  • D’autre part :\red{\text{D'autre part :}}
    • 5x+10=0⇔5x=−10⇔x=−105=−25x+10=0\Leftrightarrow 5x=-10\Leftrightarrow x=\frac{-10}{5}=-2 . Attention, ici x=−2x=-2 est la valeur interdite.
    Soit x↦5x+10x\mapsto 5x+10 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=5>0a=5>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne 5x+105x+10 par le signe (−)\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=−2x=-2 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
    Le tableau du signe du quotient est donné ci-dessous :
    (La double barre dans le tableau indique que x=−2x=-2 est une valeur interdite)
    Question 2

    f(x)=−x+34x−20f\left(x\right)=\frac{-x+3}{4x-20}

    Correction

    Pour étudier le signe d'un quotient :
    • On cherche les valeurs qui annulent le dénominateur. (valeurs interdites)
    • On étudie le signe du numérateur et du dénominateur et on regroupe dans un tableau le signe de chaque terme.
    • On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne.
    En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}}
    • −x+3=0⇔−x=−3⇔x=3-x+3=0\Leftrightarrow -x=-3\Leftrightarrow x=3
    Soit x↦−x+3x\mapsto -x+3 est une fonction affine décroissante car son coefficient directeur a=−1<0a=-1<0. (Cela signifie que la fonction DESCEND donc on commencera dans la ligne −x+3-x+3 par le signe (+)\left(+\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=3x=3 on mettra le signe (−)\left(-\right) dans le tableau de signe.)
  • D’autre part :\red{\text{D'autre part :}}
    • 4x−20=0⇔4x=20⇔x=204=54x-20=0\Leftrightarrow 4x=20\Leftrightarrow x=\frac{20}{4}=5 . Attention, ici x=5x=5 est la valeur interdite.
    Soit x↦4x−20x\mapsto 4x-20 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=4>0a=4>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne 4x−204x-20 par le signe (−)\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=5x=5 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
    Le tableau du signe du quotient est donné ci-dessous :
    (La double barre dans le tableau indique que x=5x=5 est une valeur interdite)
    Question 3

    f(x)=−3x+30−8x+72f\left(x\right)=\frac{-3x+30}{-8x+72}

    Correction

    Pour étudier le signe d'un quotient :
    • On cherche les valeurs qui annulent le dénominateur. (valeurs interdites)
    • On étudie le signe du numérateur et du dénominateur et on regroupe dans un tableau le signe de chaque terme.
    • On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne.
    En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}}
    • −3x+30=0⇔−3x=−30⇔x=−30−3=10-3x+30=0\Leftrightarrow -3x=-30\Leftrightarrow x=\frac{-30}{-3}=10
    Soit x↦−3x+30x\mapsto -3x+30 est une fonction affine décroissante car son coefficient directeur a=−3<0a=-3<0. (Cela signifie que la fonction DESCEND donc on commencera dans la ligne −3x+30-3x+30 par le signe (+)\left(+\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=10x=10 on mettra le signe (−)\left(-\right) dans le tableau de signe.)
  • D’autre part :\red{\text{D'autre part :}}
    • −8x+72=0⇔−8x=−72⇔x=−72−8=9-8x+72=0\Leftrightarrow -8x=-72\Leftrightarrow x=\frac{-72}{-8}=9 . Attention, ici x=9x=9 est la valeur interdite.
    Soit x↦−8x+72x\mapsto -8x+72 est une fonction affine décroissante car son coefficient directeur a=−8<0a=-8<0. (Cela signifie que la fonction DESCEND donc on commencera dans la ligne −8x+72-8x+72 par le signe (+)\left(+\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=9x=9 on mettra le signe (−)\left(-\right) dans le tableau de signe.)
    Le tableau du signe du quotient est donné ci-dessous :
    (La double barre dans le tableau indique que x=9x=9 est une valeur interdite)
    Question 4

    f(x)=2x+57x−6f\left(x\right)=\frac{2x+5}{7x-6}

    Correction
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    Pour étudier le signe d'un quotient :
    • On cherche les valeurs qui annulent le dénominateur. (valeurs interdites)
    • On étudie le signe du numérateur et du dénominateur et on regroupe dans un tableau le signe de chaque terme.
    • On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne.
    En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}}
    • 2x+5=0⇔2x=−5⇔x=−52=−522x+5=0\Leftrightarrow 2x=-5\Leftrightarrow x=\frac{-5}{2}=-\frac{5}{2}
    Soit x↦2x+5x\mapsto 2x+5 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=2>0a=2>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne 2x+52x+5 par le signe (−)\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=−52x=-\frac{5}{2} on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
  • D’autre part :\red{\text{D'autre part :}}
    • 7x−6=0⇔7x=6⇔x=677x-6=0\Leftrightarrow 7x=6\Leftrightarrow x=\frac{6}{7} . Attention, ici x=67x=\frac{6}{7} est la valeur interdite.
    Soit x↦7x−6x\mapsto 7x-6 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=7>0a=7>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne 7x−67x-6 par le signe (−)\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=67x=\frac{6}{7} on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
    Le tableau du signe du quotient est donné ci-dessous :
    (La double barre dans le tableau indique que x=67x=\frac{6}{7} est une valeur interdite)
    Question 5

    f(x)=9x−361−xf\left(x\right)=\frac{9x-36}{1-x}

    Correction

    Pour étudier le signe d'un quotient :
    • On cherche les valeurs qui annulent le dénominateur. (valeurs interdites)
    • On étudie le signe du numérateur et du dénominateur et on regroupe dans un tableau le signe de chaque terme.
    • On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne.
    En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}}
    • 9x−36=0⇔9x=36⇔x=369⇔x=49x-36=0\Leftrightarrow 9x=36\Leftrightarrow x=\frac{36}{9}\Leftrightarrow x=4
    Soit x↦9x−36x\mapsto 9x-36 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=9>0a=9>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne 9x−369x-36 par le signe (−)\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=4x=4 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
  • D’autre part :\red{\text{D'autre part :}}
    • 1−x=0⇔−x=−1⇔x=−1−1⇔x=11-x=0\Leftrightarrow -x=-1\Leftrightarrow x=\frac{-1}{-1}\Leftrightarrow x=1 . Attention, ici x=1x=1 est la valeur interdite.
    Soit x↦1−xx\mapsto 1-x est une fonction affine décroissante car son coefficient directeur a=−1<0a=-1<0. (Cela signifie que la fonction DESCEND donc on commencera dans la ligne 1−x1-x par le signe (+)\left(+\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=1x=1 on mettra le signe (−)\left(-\right) dans le tableau de signe.)
    Le tableau du signe du quotient est donné ci-dessous :
    (La double barre dans le tableau indique que x=1x=1 est une valeur interdite)
    Question 6

    f(x)=xx−11f\left(x\right)=\frac{x}{x-11}

    Correction

    Pour étudier le signe d'un quotient :
    • On cherche les valeurs qui annulent le dénominateur. (valeurs interdites)
    • On étudie le signe du numérateur et du dénominateur et on regroupe dans un tableau le signe de chaque terme.
    • On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne.
    En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}}
    • Le numérateur xx s'annule pour la valeur 00. De plus, x↦xx\mapsto x est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne xx par le signe (−)\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=0x=0 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
  • D’autre part :\red{\text{D'autre part :}}
    • x−11=0⇔x=11x-11=0\Leftrightarrow x=11 . Attention, ici x=11x=11 est la valeur interdite.
    Soit x↦x−11x\mapsto x-11 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x−11x-11 par le signe (−)\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=11x=11 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
    Le tableau du signe du quotient est donné ci-dessous :
    (La double barre dans le tableau indique que x=11x=11 est une valeur interdite)