Etude du signe d'un quotient - Fonctions affines. Tableaux de signes . Inéquations produit et Inéquations quotient - Seconde

Question 1

$f\left(x\right)=\frac{3x-12}{2x+10}$

Correction

Pour étudier le signe d'un quotient :

On cherche les valeurs qui annulent le dénominateur. (valeurs interdites)
On étudie le signe du numérateur et du dénominateur et on regroupe dans un tableau le signe de chaque terme.
On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne.

En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.

\red{\text{D'une part :}}

3x-12=0\Leftrightarrow 3x=12\Leftrightarrow x=\frac{12}{3}=4

Soit

x\mapsto 3x-12

est une fonction affine croissante car son coefficient directeur

a=3>0

. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $3x-12$ par le signe $\left(-\right)$ et dès que l'on dépasse la valeur $x=4$ on mettra le signe $\left(+\right)$ dans le tableau de signe.)

\red{\text{D'autre part :}}

2x+10=0\Leftrightarrow 2x=-10\Leftrightarrow x=\frac{-10}{2}=-5

. Attention, ici

x=-5

est la valeur interdite.
Soit

x\mapsto 2x+10

est une fonction affine croissante car son coefficient directeur

a=2>0

. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $2x+10$ par le signe $\left(-\right)$ et dès que l'on dépasse la valeur $x=-5$ on mettra le signe $\left(+\right)$ dans le tableau de signe.)
Le tableau du signe du quotient est donné ci-dessous :

(La double barre dans le tableau indique que $x=-5$ est une valeur interdite)

Question 2

$f\left(x\right)=\frac{-x+7}{3x-18}$

Correction

Pour étudier le signe d'un quotient :

On cherche les valeurs qui annulent le dénominateur. (valeurs interdites)
On étudie le signe du numérateur et du dénominateur et on regroupe dans un tableau le signe de chaque terme.
On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne.

En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.

\red{\text{D'une part :}}

-x+7=0\Leftrightarrow -x=-7\Leftrightarrow x=7

Soit

x\mapsto -x+7

est une fonction affine décroissante car son coefficient directeur

a=-1<0

. (Cela signifie que la fonction DESCEND donc on commencera dans la ligne $-x+7$ par le signe $\left(+\right)$ et dès que l'on dépasse la valeur $x=7$ on mettra le signe $\left(-\right)$ dans le tableau de signe.)

\red{\text{D'autre part :}}

3x-18=0\Leftrightarrow 3x=18\Leftrightarrow x=\frac{18}{3}=6

. Attention, ici

x=6

est la valeur interdite.
Soit

x\mapsto 3x-18

est une fonction affine croissante car son coefficient directeur

a=3>0

. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $3x-18$ par le signe $\left(-\right)$ et dès que l'on dépasse la valeur $x=6$ on mettra le signe $\left(+\right)$ dans le tableau de signe.)
Le tableau du signe du quotient est donné ci-dessous :

(La double barre dans le tableau indique que $x=6$ est une valeur interdite)

Question 3

$f\left(x\right)=\frac{-5x+30}{-9x+72}$

Correction

Pour étudier le signe d'un quotient :

On cherche les valeurs qui annulent le dénominateur. (valeurs interdites)
On étudie le signe du numérateur et du dénominateur et on regroupe dans un tableau le signe de chaque terme.
On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne.

En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.

\red{\text{D'une part :}}

-5x+30=0\Leftrightarrow -5x=-30\Leftrightarrow x=\frac{-30}{-5}=6

Soit

x\mapsto -5x+30

est une fonction affine décroissante car son coefficient directeur

a=-5<0

. (Cela signifie que la fonction DESCEND donc on commencera dans la ligne $-5x+30$ par le signe $\left(+\right)$ et dès que l'on dépasse la valeur $x=6$ on mettra le signe $\left(-\right)$ dans le tableau de signe.)

\red{\text{D'autre part :}}

-9x+72=0\Leftrightarrow -9x=-72\Leftrightarrow x=\frac{-72}{-9}=8

. Attention, ici

x=8

est la valeur interdite.
Soit

x\mapsto -9x+72

est une fonction affine décroissante car son coefficient directeur

a=-9<0

. (Cela signifie que la fonction DESCEND donc on commencera dans la ligne $-9x+72$ par le signe $\left(+\right)$ et dès que l'on dépasse la valeur $x=8$ on mettra le signe $\left(-\right)$ dans le tableau de signe.)
Le tableau du signe du quotient est donné ci-dessous :

(La double barre dans le tableau indique que $x=8$ est une valeur interdite)

Question 4

$f\left(x\right)=\frac{4x+5}{3x-2}$

Correction

Pour étudier le signe d'un quotient :

On cherche les valeurs qui annulent le dénominateur. (valeurs interdites)
On étudie le signe du numérateur et du dénominateur et on regroupe dans un tableau le signe de chaque terme.
On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne.

En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.

\red{\text{D'une part :}}

4x+5=0\Leftrightarrow 4x=-5\Leftrightarrow x=\frac{-5}{4}=-\frac{5}{4}

Soit

x\mapsto 4x+5

est une fonction affine croissante car son coefficient directeur

a=4>0

. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $4x+5$ par le signe $\left(-\right)$ et dès que l'on dépasse la valeur $x=-\frac{5}{4}$ on mettra le signe $\left(+\right)$ dans le tableau de signe.)

\red{\text{D'autre part :}}

3x-2=0\Leftrightarrow 3x=2\Leftrightarrow x=\frac{2}{3}

. Attention, ici

x=\frac{2}{3}

est la valeur interdite.
Soit

x\mapsto 3x-2

est une fonction affine croissante car son coefficient directeur

a=3>0

. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $3x-2$ par le signe $\left(-\right)$ et dès que l'on dépasse la valeur $x=\frac{2}{3}$ on mettra le signe $\left(+\right)$ dans le tableau de signe.)
Le tableau du signe du quotient est donné ci-dessous :

(La double barre dans le tableau indique que $x=\frac{2}{3}$ est une valeur interdite)

Question 5

$f\left(x\right)=\frac{8x-32}{2-x}$

Correction

Pour étudier le signe d'un quotient :

On cherche les valeurs qui annulent le dénominateur. (valeurs interdites)
On étudie le signe du numérateur et du dénominateur et on regroupe dans un tableau le signe de chaque terme.
On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne.

En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.

\red{\text{D'une part :}}

8x-32=0\Leftrightarrow 8x=32\Leftrightarrow x=\frac{32}{8}\Leftrightarrow x=4

Soit

x\mapsto 8x-32

est une fonction affine croissante car son coefficient directeur

a=8>0

. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $8x-32$ par le signe $\left(-\right)$ et dès que l'on dépasse la valeur $x=4$ on mettra le signe $\left(+\right)$ dans le tableau de signe.)

\red{\text{D'autre part :}}

2-x=0\Leftrightarrow -x=-2\Leftrightarrow x=\frac{-2}{-1}\Leftrightarrow x=2

. Attention, ici

x=2

est la valeur interdite.
Soit

x\mapsto 2-x

est une fonction affine décroissante car son coefficient directeur

a=-1<0

. (Cela signifie que la fonction DESCEND donc on commencera dans la ligne $2-x$ par le signe $\left(+\right)$ et dès que l'on dépasse la valeur $x=2$ on mettra le signe $\left(-\right)$ dans le tableau de signe.)
Le tableau du signe du quotient est donné ci-dessous :

(La double barre dans le tableau indique que $x=2$ est une valeur interdite)

Question 6

$f\left(x\right)=\frac{x}{x-7}$

Correction

Pour étudier le signe d'un quotient :

On cherche les valeurs qui annulent le dénominateur. (valeurs interdites)
On étudie le signe du numérateur et du dénominateur et on regroupe dans un tableau le signe de chaque terme.
On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne.

En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.

\red{\text{D'une part :}}

Le numérateur

x

s'annule pour la valeur

0

. De plus,

x\mapsto x

est une fonction affine croissante car son coefficient directeur

a=1>0

. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $x$ par le signe $\left(-\right)$ et dès que l'on dépasse la valeur $x=0$ on mettra le signe $\left(+\right)$ dans le tableau de signe.)

\red{\text{D'autre part :}}

x-7=0\Leftrightarrow x=7

. Attention, ici

x=7

est la valeur interdite.
Soit

x\mapsto x-7

est une fonction affine croissante car son coefficient directeur

a=1>0

. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $x-7$ par le signe $\left(-\right)$ et dès que l'on dépasse la valeur $x=7$ on mettra le signe $\left(+\right)$ dans le tableau de signe.)
Le tableau du signe du quotient est donné ci-dessous :

(La double barre dans le tableau indique que $x=7$ est une valeur interdite)

Etude du signe d'un quotient - Exercice 1

f(x)=3x−122x+10f\left(x\right)=\frac{3x-12}{2x+10}f(x)=2x+103x−12​

f(x)=−x+73x−18f\left(x\right)=\frac{-x+7}{3x-18}f(x)=3x−18−x+7​

f(x)=−5x+30−9x+72f\left(x\right)=\frac{-5x+30}{-9x+72}f(x)=−9x+72−5x+30​

f(x)=4x+53x−2f\left(x\right)=\frac{4x+5}{3x-2}f(x)=3x−24x+5​

f(x)=8x−322−xf\left(x\right)=\frac{8x-32}{2-x}f(x)=2−x8x−32​

f(x)=xx−7f\left(x\right)=\frac{x}{x-7}f(x)=x−7x​

$f\left(x\right)=\frac{3x-12}{2x+10}$

$f\left(x\right)=\frac{-x+7}{3x-18}$

$f\left(x\right)=\frac{-5x+30}{-9x+72}$

$f\left(x\right)=\frac{4x+5}{3x-2}$

$f\left(x\right)=\frac{8x-32}{2-x}$

$f\left(x\right)=\frac{x}{x-7}$