Fonctions affines. Tableaux de signes . Inéquations produit et Inéquations quotient

Etude du signe d'un quotient - Exercice 1

25 min
40
Question 1
Etablir le tableau de signe pour chacune des fonctions suivantes :

f(x)=3x122x+10f\left(x\right)=\frac{3x-12}{2x+10}

Correction

Pour étudier le signe d'un quotient :
  • On cherche les valeurs qui annulent le dénominateur. (valeurs interdites)
  • On étudie le signe du numérateur et du dénominateur et on regroupe dans un tableau le signe de chaque terme.
  • On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne.
En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}}
  • 3x12=03x=12x=123=43x-12=0\Leftrightarrow 3x=12\Leftrightarrow x=\frac{12}{3}=4
    Soit x3x12x\mapsto 3x-12 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=3>0a=3>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne 3x123x-12 par le signe ()\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=4x=4 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
  • D’autre part :\red{\text{D'autre part :}}
  • 2x+10=02x=10x=102=52x+10=0\Leftrightarrow 2x=-10\Leftrightarrow x=\frac{-10}{2}=-5 . Attention, ici x=5x=-5 est la valeur interdite.
    Soit x2x+10x\mapsto 2x+10 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=2>0a=2>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne 2x+102x+10 par le signe ()\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=5x=-5 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
    Le tableau du signe du quotient est donné ci-dessous :
    (La double barre dans le tableau indique que x=5x=-5 est une valeur interdite)
    Question 2

    f(x)=x+73x18f\left(x\right)=\frac{-x+7}{3x-18}

    Correction

    Pour étudier le signe d'un quotient :
    • On cherche les valeurs qui annulent le dénominateur. (valeurs interdites)
    • On étudie le signe du numérateur et du dénominateur et on regroupe dans un tableau le signe de chaque terme.
    • On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne.
    En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}}
  • x+7=0x=7x=7-x+7=0\Leftrightarrow -x=-7\Leftrightarrow x=7
    Soit xx+7x\mapsto -x+7 est une fonction affine décroissante car son coefficient directeur a=1<0a=-1<0. (Cela signifie que la fonction DESCEND donc on commencera dans la ligne x+7-x+7 par le signe (+)\left(+\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=7x=7 on mettra le signe ()\left(-\right) dans le tableau de signe.)
  • D’autre part :\red{\text{D'autre part :}}
  • 3x18=03x=18x=183=63x-18=0\Leftrightarrow 3x=18\Leftrightarrow x=\frac{18}{3}=6 . Attention, ici x=6x=6 est la valeur interdite.
    Soit x3x18x\mapsto 3x-18 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=3>0a=3>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne 3x183x-18 par le signe ()\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=6x=6 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
    Le tableau du signe du quotient est donné ci-dessous :
    (La double barre dans le tableau indique que x=6x=6 est une valeur interdite)
    Question 3

    f(x)=5x+309x+72f\left(x\right)=\frac{-5x+30}{-9x+72}

    Correction

    Pour étudier le signe d'un quotient :
    • On cherche les valeurs qui annulent le dénominateur. (valeurs interdites)
    • On étudie le signe du numérateur et du dénominateur et on regroupe dans un tableau le signe de chaque terme.
    • On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne.
    En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}}
  • 5x+30=05x=30x=305=6-5x+30=0\Leftrightarrow -5x=-30\Leftrightarrow x=\frac{-30}{-5}=6
    Soit x5x+30x\mapsto -5x+30 est une fonction affine décroissante car son coefficient directeur a=5<0a=-5<0. (Cela signifie que la fonction DESCEND donc on commencera dans la ligne 5x+30-5x+30 par le signe (+)\left(+\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=6x=6 on mettra le signe ()\left(-\right) dans le tableau de signe.)
  • D’autre part :\red{\text{D'autre part :}}
  • 9x+72=09x=72x=729=8-9x+72=0\Leftrightarrow -9x=-72\Leftrightarrow x=\frac{-72}{-9}=8 . Attention, ici x=8x=8 est la valeur interdite.
    Soit x9x+72x\mapsto -9x+72 est une fonction affine décroissante car son coefficient directeur a=9<0a=-9<0. (Cela signifie que la fonction DESCEND donc on commencera dans la ligne 9x+72-9x+72 par le signe (+)\left(+\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=8x=8 on mettra le signe ()\left(-\right) dans le tableau de signe.)
    Le tableau du signe du quotient est donné ci-dessous :
    (La double barre dans le tableau indique que x=8x=8 est une valeur interdite)
    Question 4

    f(x)=4x+53x2f\left(x\right)=\frac{4x+5}{3x-2}

    Correction

    Pour étudier le signe d'un quotient :
    • On cherche les valeurs qui annulent le dénominateur. (valeurs interdites)
    • On étudie le signe du numérateur et du dénominateur et on regroupe dans un tableau le signe de chaque terme.
    • On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne.
    En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}}
  • 4x+5=04x=5x=54=544x+5=0\Leftrightarrow 4x=-5\Leftrightarrow x=\frac{-5}{4}=-\frac{5}{4}
    Soit x4x+5x\mapsto 4x+5 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=4>0a=4>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne 4x+54x+5 par le signe ()\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=54x=-\frac{5}{4} on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
  • D’autre part :\red{\text{D'autre part :}}
  • 3x2=03x=2x=233x-2=0\Leftrightarrow 3x=2\Leftrightarrow x=\frac{2}{3} . Attention, ici x=23x=\frac{2}{3} est la valeur interdite.
    Soit x3x2x\mapsto 3x-2 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=3>0a=3>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne 3x23x-2 par le signe ()\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=23x=\frac{2}{3} on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
    Le tableau du signe du quotient est donné ci-dessous :
    (La double barre dans le tableau indique que x=23x=\frac{2}{3} est une valeur interdite)
    Question 5

    f(x)=8x322xf\left(x\right)=\frac{8x-32}{2-x}

    Correction

    Pour étudier le signe d'un quotient :
    • On cherche les valeurs qui annulent le dénominateur. (valeurs interdites)
    • On étudie le signe du numérateur et du dénominateur et on regroupe dans un tableau le signe de chaque terme.
    • On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne.
    En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}}
  • 8x32=08x=32x=328x=48x-32=0\Leftrightarrow 8x=32\Leftrightarrow x=\frac{32}{8}\Leftrightarrow x=4
    Soit x8x32x\mapsto 8x-32 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=8>0a=8>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne 8x328x-32 par le signe ()\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=4x=4 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
  • D’autre part :\red{\text{D'autre part :}}
  • 2x=0x=2x=21x=22-x=0\Leftrightarrow -x=-2\Leftrightarrow x=\frac{-2}{-1}\Leftrightarrow x=2 . Attention, ici x=2x=2 est la valeur interdite.
    Soit x2xx\mapsto 2-x est une fonction affine décroissante car son coefficient directeur a=1<0a=-1<0. (Cela signifie que la fonction DESCEND donc on commencera dans la ligne 2x2-x par le signe (+)\left(+\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=2x=2 on mettra le signe ()\left(-\right) dans le tableau de signe.)
    Le tableau du signe du quotient est donné ci-dessous :
    (La double barre dans le tableau indique que x=2x=2 est une valeur interdite)
    Question 6

    f(x)=xx7f\left(x\right)=\frac{x}{x-7}

    Correction

    Pour étudier le signe d'un quotient :
    • On cherche les valeurs qui annulent le dénominateur. (valeurs interdites)
    • On étudie le signe du numérateur et du dénominateur et on regroupe dans un tableau le signe de chaque terme.
    • On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne.
    En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}}
  • Le numérateur xx s'annule pour la valeur 00. De plus, xxx\mapsto x est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne xx par le signe ()\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=0x=0 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
  • D’autre part :\red{\text{D'autre part :}}
  • x7=0x=7x-7=0\Leftrightarrow x=7 . Attention, ici x=7x=7 est la valeur interdite.
    Soit xx7x\mapsto x-7 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x7x-7 par le signe ()\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=7x=7 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
    Le tableau du signe du quotient est donné ci-dessous :
    (La double barre dans le tableau indique que x=7x=7 est une valeur interdite)