Etude du signe d'un quotient

$\red{\text{D'une part :}}$

$3x-12=0\Leftrightarrow 3x=12\Leftrightarrow x=\frac{12}{3}=4$
Soit $x\mapsto 3x-12$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $a=3>0$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $3x-12$ par le signe $\left(-\right)$ et dès que l'on dépasse la valeur $x=4$ on mettra le signe $\left(+\right)$ dans le tableau de signe.)

$\red{\text{D'autre part :}}$

$2x+10=0\Leftrightarrow 2x=-10\Leftrightarrow x=\frac{-10}{2}=-5$ . Attention, ici $x=-5$ est la valeur interdite.
Soit $x\mapsto 2x+10$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $a=2>0$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $2x+10$ par le signe $\left(-\right)$ et dès que l'on dépasse la valeur $x=-5$ on mettra le signe $\left(+\right)$ dans le tableau de signe.)
Le tableau du signe du quotient est donné ci-dessous :
(La double barre dans le tableau indique que $x=-5$ est une valeur interdite)

$\red{\text{D'une part :}}$

$-x+7=0\Leftrightarrow -x=-7\Leftrightarrow x=7$
Soit $x\mapsto -x+7$ est une fonction affine décroissante car son coefficient directeur $a=-1<0$. (Cela signifie que la fonction DESCEND donc on commencera dans la ligne $-x+7$ par le signe $\left(+\right)$ et dès que l'on dépasse la valeur $x=7$ on mettra le signe $\left(-\right)$ dans le tableau de signe.)

$\red{\text{D'autre part :}}$

$3x-18=0\Leftrightarrow 3x=18\Leftrightarrow x=\frac{18}{3}=6$ . Attention, ici $x=6$ est la valeur interdite.
Soit $x\mapsto 3x-18$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $a=3>0$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $3x-18$ par le signe $\left(-\right)$ et dès que l'on dépasse la valeur $x=6$ on mettra le signe $\left(+\right)$ dans le tableau de signe.)
Le tableau du signe du quotient est donné ci-dessous :
(La double barre dans le tableau indique que $x=6$ est une valeur interdite)

$\red{\text{D'une part :}}$

$-5x+30=0\Leftrightarrow -5x=-30\Leftrightarrow x=\frac{-30}{-5}=6$
Soit $x\mapsto -5x+30$ est une fonction affine décroissante car son coefficient directeur $a=-5<0$. (Cela signifie que la fonction DESCEND donc on commencera dans la ligne $-5x+30$ par le signe $\left(+\right)$ et dès que l'on dépasse la valeur $x=6$ on mettra le signe $\left(-\right)$ dans le tableau de signe.)

$\red{\text{D'autre part :}}$

$-9x+72=0\Leftrightarrow -9x=-72\Leftrightarrow x=\frac{-72}{-9}=8$ . Attention, ici $x=8$ est la valeur interdite.
Soit $x\mapsto -9x+72$ est une fonction affine décroissante car son coefficient directeur $a=-9<0$. (Cela signifie que la fonction DESCEND donc on commencera dans la ligne $-9x+72$ par le signe $\left(+\right)$ et dès que l'on dépasse la valeur $x=8$ on mettra le signe $\left(-\right)$ dans le tableau de signe.)
Le tableau du signe du quotient est donné ci-dessous :
(La double barre dans le tableau indique que $x=8$ est une valeur interdite)

$\red{\text{D'une part :}}$

$4x+5=0\Leftrightarrow 4x=-5\Leftrightarrow x=\frac{-5}{4}=-\frac{5}{4}$
Soit $x\mapsto 4x+5$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $a=4>0$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $4x+5$ par le signe $\left(-\right)$ et dès que l'on dépasse la valeur $x=-\frac{5}{4}$ on mettra le signe $\left(+\right)$ dans le tableau de signe.)

$\red{\text{D'autre part :}}$

$3x-2=0\Leftrightarrow 3x=2\Leftrightarrow x=\frac{2}{3}$ . Attention, ici $x=\frac{2}{3}$ est la valeur interdite.
Soit $x\mapsto 3x-2$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $a=3>0$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $3x-2$ par le signe $\left(-\right)$ et dès que l'on dépasse la valeur $x=\frac{2}{3}$ on mettra le signe $\left(+\right)$ dans le tableau de signe.)
Le tableau du signe du quotient est donné ci-dessous :
(La double barre dans le tableau indique que $x=\frac{2}{3}$ est une valeur interdite)

$\red{\text{D'une part :}}$

$8x-32=0\Leftrightarrow 8x=32\Leftrightarrow x=\frac{32}{8}\Leftrightarrow x=4$
Soit $x\mapsto 8x-32$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $a=8>0$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $8x-32$ par le signe $\left(-\right)$ et dès que l'on dépasse la valeur $x=4$ on mettra le signe $\left(+\right)$ dans le tableau de signe.)

$\red{\text{D'autre part :}}$

$2-x=0\Leftrightarrow -x=-2\Leftrightarrow x=\frac{-2}{-1}\Leftrightarrow x=2$ . Attention, ici $x=2$ est la valeur interdite.
Soit $x\mapsto 2-x$ est une fonction affine décroissante car son coefficient directeur $a=-1<0$. (Cela signifie que la fonction DESCEND donc on commencera dans la ligne $2-x$ par le signe $\left(+\right)$ et dès que l'on dépasse la valeur $x=2$ on mettra le signe $\left(-\right)$ dans le tableau de signe.)
Le tableau du signe du quotient est donné ci-dessous :
(La double barre dans le tableau indique que $x=2$ est une valeur interdite)

$\red{\text{D'une part :}}$

Le numérateur $x$ s'annule pour la valeur $0$. De plus, $x\mapsto x$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $a=1>0$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $x$ par le signe $\left(-\right)$ et dès que l'on dépasse la valeur $x=0$ on mettra le signe $\left(+\right)$ dans le tableau de signe.)

$\red{\text{D'autre part :}}$

$x-7=0\Leftrightarrow x=7$ . Attention, ici $x=7$ est la valeur interdite.
Soit $x\mapsto x-7$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $a=1>0$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $x-7$ par le signe $\left(-\right)$ et dès que l'on dépasse la valeur $x=7$ on mettra le signe $\left(+\right)$ dans le tableau de signe.)
Le tableau du signe du quotient est donné ci-dessous :
(La double barre dans le tableau indique que $x=7$ est une valeur interdite)

$\red{\text{D'une part :}}$

$6x-24=0\Leftrightarrow 6x=24\Leftrightarrow x=\frac{24}{6}=4$
Soit $x\mapsto 6x-24$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $a=6>0$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $6x-24$ par le signe $\left(-\right)$ et dès que l'on dépasse la valeur $x=4$ on mettra le signe $\left(+\right)$ dans le tableau de signe.)

$\red{\text{D'autre part :}}$

$5x+10=0\Leftrightarrow 5x=-10\Leftrightarrow x=\frac{-10}{5}=-2$ . Attention, ici $x=-2$ est la valeur interdite.
Soit $x\mapsto 5x+10$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $a=5>0$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $5x+10$ par le signe $\left(-\right)$ et dès que l'on dépasse la valeur $x=-2$ on mettra le signe $\left(+\right)$ dans le tableau de signe.)
Le tableau du signe du quotient est donné ci-dessous :
(La double barre dans le tableau indique que $x=-2$ est une valeur interdite)

$\red{\text{D'une part :}}$

$-x+3=0\Leftrightarrow -x=-3\Leftrightarrow x=3$
Soit $x\mapsto -x+3$ est une fonction affine décroissante car son coefficient directeur $a=-1<0$. (Cela signifie que la fonction DESCEND donc on commencera dans la ligne $-x+3$ par le signe $\left(+\right)$ et dès que l'on dépasse la valeur $x=3$ on mettra le signe $\left(-\right)$ dans le tableau de signe.)

$\red{\text{D'autre part :}}$

$4x-20=0\Leftrightarrow 4x=20\Leftrightarrow x=\frac{20}{4}=5$ . Attention, ici $x=5$ est la valeur interdite.
Soit $x\mapsto 4x-20$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $a=4>0$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $4x-20$ par le signe $\left(-\right)$ et dès que l'on dépasse la valeur $x=5$ on mettra le signe $\left(+\right)$ dans le tableau de signe.)
Le tableau du signe du quotient est donné ci-dessous :
(La double barre dans le tableau indique que $x=5$ est une valeur interdite)

$\red{\text{D'une part :}}$

$-3x+30=0\Leftrightarrow -3x=-30\Leftrightarrow x=\frac{-30}{-3}=10$
Soit $x\mapsto -3x+30$ est une fonction affine décroissante car son coefficient directeur $a=-3<0$. (Cela signifie que la fonction DESCEND donc on commencera dans la ligne $-3x+30$ par le signe $\left(+\right)$ et dès que l'on dépasse la valeur $x=10$ on mettra le signe $\left(-\right)$ dans le tableau de signe.)

$\red{\text{D'autre part :}}$

$-8x+72=0\Leftrightarrow -8x=-72\Leftrightarrow x=\frac{-72}{-8}=9$ . Attention, ici $x=9$ est la valeur interdite.
Soit $x\mapsto -8x+72$ est une fonction affine décroissante car son coefficient directeur $a=-8<0$. (Cela signifie que la fonction DESCEND donc on commencera dans la ligne $-8x+72$ par le signe $\left(+\right)$ et dès que l'on dépasse la valeur $x=9$ on mettra le signe $\left(-\right)$ dans le tableau de signe.)
Le tableau du signe du quotient est donné ci-dessous :
(La double barre dans le tableau indique que $x=9$ est une valeur interdite)

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Pour étudier le signe d'un quotient :

• On cherche les valeurs qui annulent le dénominateur. (valeurs interdites)
• On étudie le signe du numérateur et du dénominateur et on regroupe dans un tableau le signe de chaque terme.
• On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne.