Pour résoudre cette inéquation, il faut tout d'abord faire le tableau signe de l'expression
(−8x+32)(2x+1).
Pour étudier le signe d'un produit :
- On étudie le signe de chaque facteur.
- On regroupe dans un tableau le signe de chaque facteur. La première ligne du tableau contenant les valeurs, rangées dans l'ordre croissant, qui annulent chacun des facteurs.
- On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne
En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.
D’une part :−8x+32=0⇔−8x=−32⇔x=−8−32=4 Soit
x↦−8x+32 est une fonction affine
décroissante car son coefficient directeur
a=−8<0.
(Cela signifie que la fonction DESCEND donc on commencera dans la ligne −8x+32 par le signe (+) et dès que l'on dépasse la valeur x=4 on mettra le signe (−) dans le tableau de signe.)D’autre part :2x+1=0⇔2x=−1⇔x=2−1=−21 Soit
x↦2x+1 est une fonction affine
croissante car son coefficient directeur
a=2>0.
(Cela signifie que la fonction DESCEND donc on commencera dans la ligne 2x+1 par le signe (−) et dès que l'on dépasse la valeur x=−21 on mettra le signe (+) dans le tableau de signe.)Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :
Maintenant que nous avons le tableau de signe, nous allons pouvoir résoudre l'inéquation
(−8x+32)(2x+1)≤0. Il nous faut regarder la dernière ligne du tableau de signe. En effet,
(−8x+32)(2x+1)≤0 signifie que nous cherchons le signe
moins dans la dernière ligne du tableau de signe.
Ainsi :
S=]−∞;−21]∪[4;+∞[