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Etude du signe d'un produit - Exercice 3

20 min
35
Etablir le tableau de signe de chacune des fonctions produits suivantes :
Question 1

f(x)=(2x−2)(x−3)f\left(x\right)=\left(2x-2\right)\left(x-3\right)

Correction
Pour étudier le signe d'un produit :
  • On étudie le signe de chaque facteur.
  • On regroupe dans un tableau le signe de chaque facteur. La première ligne du tableau contenant les valeurs, rangées dans l'ordre croissant, qui annulent chacun des facteurs.
  • On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne
En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}}
    • 2x−2=0⇔2x=2⇔x=22=12x-2=0\Leftrightarrow 2x=2\Leftrightarrow x=\frac{2}{2}=1
    Soit x↦2x−2x\mapsto 2x-2 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=2>0a=2>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne 2x−22x-2 par le signe (−)\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=1x=1 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
  • D’autre part :\red{\text{D'autre part :}}
    • x−3=0⇔x=3x-3=0\Leftrightarrow x=3
    Soit x↦x−3x\mapsto x-3 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x−3x-3 par le signe (−)\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=3x=3 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
    Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :
    (On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne.)
    Question 2

    f(x)=(−4x−8)(3x−9)f\left(x\right)=\left(-4x-8\right)\left(3x-9\right)

    Correction
    Pour étudier le signe d'un produit :
    • On étudie le signe de chaque facteur.
    • On regroupe dans un tableau le signe de chaque facteur. La première ligne du tableau contenant les valeurs, rangées dans l'ordre croissant, qui annulent chacun des facteurs.
    • On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne
    En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}}
    • −4x−8=0⇔−4x=8⇔x=8−4=−2-4x-8=0\Leftrightarrow -4x=8\Leftrightarrow x=\frac{8}{-4}=-2
    Soit x↦−4x−8x\mapsto -4x-8 est une fonction affine décroissante car son coefficient directeur a=−4<0a=-4<0. (Cela signifie que la fonction DESCEND donc on commencera dans la ligne −4x−8-4x-8 par le signe (+)\left(+\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=−2x=-2 on mettra le signe (−)\left(-\right) dans le tableau de signe.)
  • D’autre part :\red{\text{D'autre part :}}
    • 3x−9=0⇔3x=9⇔x=93=33x-9=0\Leftrightarrow 3x=9\Leftrightarrow x=\frac{9}{3}=3
    Soit x↦3x−9x\mapsto 3x-9 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=3>0a=3>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne 3x−93x-9 par le signe (−)\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=3x=3 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
    Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :
    (On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne.)
    Question 3

    f(x)=(−5x+3)(−7x+8)f\left(x\right)=\left(-5x+3\right)\left(-7x+8\right)

    Correction
    Pour étudier le signe d'un produit :
    • On étudie le signe de chaque facteur.
    • On regroupe dans un tableau le signe de chaque facteur. La première ligne du tableau contenant les valeurs, rangées dans l'ordre croissant, qui annulent chacun des facteurs.
    • On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne
    En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}}
    • −5x+3=0⇔−5x=−3⇔x=−3−5=35-5x+3=0\Leftrightarrow -5x=-3\Leftrightarrow x=\frac{-3}{-5}=\frac{3}{5}
    Soit x↦−5x+3x\mapsto -5x+3 est une fonction affine décroissante car son coefficient directeur a=−5<0a=-5<0. (Cela signifie que la fonction DESCEND donc on commencera dans la ligne −5x+3-5x+3 par le signe (+)\left(+\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=35x=\frac{3}{5} on mettra le signe (−)\left(-\right) dans le tableau de signe.)
  • D’autre part :\red{\text{D'autre part :}}
    • −7x+8=0⇔−7x=−8⇔x=−8−7=87-7x+8=0\Leftrightarrow -7x=-8\Leftrightarrow x=\frac{-8}{-7}= \frac{8}{7}
    Soit x↦−7x+8x\mapsto -7x+8 est une fonction affine décroissante car son coefficient directeur a=−7<0a=-7<0. (Cela signifie que la fonction DESCEND donc on commencera dans la ligne −7x+8-7x+8 par le signe (+)\left(+\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=87x= \frac{8}{7} on mettra le signe (−)\left(-\right) dans le tableau de signe.)
    Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :
    (On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne.)
    Question 4

    f(x)=(−5x+20)(x+1)f\left(x\right)=\left(-5x+20\right)\left(x+1\right)

    Correction
    Pour étudier le signe d'un produit :
    • On étudie le signe de chaque facteur.
    • On regroupe dans un tableau le signe de chaque facteur. La première ligne du tableau contenant les valeurs, rangées dans l'ordre croissant, qui annulent chacun des facteurs.
    • On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne
    En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}}
    • −5x+20=0⇔−5x=−20⇔x=−20−5=4-5x+20=0\Leftrightarrow -5x=-20\Leftrightarrow x=\frac{-20}{-5}=4
    Soit x↦−5x+20x\mapsto -5x+20 est une fonction affine décroissante car son coefficient directeur a=−5<0a=-5<0. (Cela signifie que la fonction DESCEND donc on commencera dans la ligne −5x+20-5x+20 par le signe (+)\left(+\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=4x=4 on mettra le signe (−)\left(-\right) dans le tableau de signe.)
  • D’autre part :\red{\text{D'autre part :}}
    • x+1=0⇔x=−1x+1=0\Leftrightarrow x=-1
    Soit x↦x+1x\mapsto x+1 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction DESCEND donc on commencera dans la ligne x+1x+1 par le signe (−)\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=−1x=-1 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
    Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :
    (On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne.)
    Question 5

    f(x)=(4x−1)(6x+18)f\left(x\right)=\left(4x-1\right)\left(6x+18\right)

    Correction
    Pour étudier le signe d'un produit :
    • On étudie le signe de chaque facteur.
    • On regroupe dans un tableau le signe de chaque facteur. La première ligne du tableau contenant les valeurs, rangées dans l'ordre croissant, qui annulent chacun des facteurs.
    • On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne
    En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.
  • D'une part :
    • 4x−1=0⇔4x=1⇔x=144x-1=0\Leftrightarrow 4x=1\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}
    Soit x↦4x−1x\mapsto 4x-1 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=4>0a=4>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne 4x−14x-1 par le signe (−)\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=14x=\frac{1}{4} on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
  • D'autre part :
    • 6x+18=0⇔6x=−18⇔x=−186=−36x+18=0\Leftrightarrow 6x=-18\Leftrightarrow x=\frac{-18}{6}=-3
    Soit x↦6x+18x\mapsto 6x+18 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=6>0a=6>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne 6x+186x+18 par le signe (−)\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=−3x=-3 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
    Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :
    (On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne.)

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