Etude du signe d'un produit - Exercice 2

Pour résoudre cette inéquation, il faut tout d'abord faire le tableau signe de l'expression $$\left(5x-10\right)\left(3x-12\right)$$.

D'une part :

$$5x-10=0\Leftrightarrow 5x=10\Leftrightarrow x=\frac{10}{5}=2$$
Soit $$x\mapsto 5x-10$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=5>0$$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $$5x-10$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=2$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)

D'autre part :

$$3x-12=0\Leftrightarrow 3x=12\Leftrightarrow x=\frac{12}{3}=4$$
Soit $$x\mapsto 3x-12$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=3>0$$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $$3x-12$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=4$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)
Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :
Maintenant que nous avons le tableau de signe, nous allons pouvoir résoudre l'inéquation $$\left(5x-10\right)\left(3x-12\right)\le0$$. Il nous faut regarder la dernière ligne du tableau de signe. En effet, $$\left(5x-10\right)\left(3x-12\right)\le0$$ signifie que nous cherchons le signe $${\color{red}\text{moins}}$$ dans la dernière ligne du tableau de signe.
Ainsi :

Pour résoudre cette inéquation, il faut tout d'abord faire le tableau signe de l'expression $$\left(4x-28\right)\left(6x-48\right)$$.

D'une part :

$$4x-28=0\Leftrightarrow 4x=28\Leftrightarrow x=\frac{28}{4}=7$$
Soit $$x\mapsto 4x-28$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=4>0$$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $$4x-28$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=7$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)

D'autre part :

$$6x-48=0\Leftrightarrow 6x=48\Leftrightarrow x=\frac{48}{6}=8$$
Soit $$x\mapsto 6x-48$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=6>0$$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $$6x-48$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=8$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)
Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :
Maintenant que nous avons le tableau de signe, nous allons pouvoir résoudre l'inéquation $$\left(4x-28\right)\left(6x-48\right)\ge0$$. Il nous faut regarder la dernière ligne du tableau de signe. En effet, $$\left(4x-28\right)\left(6x-48\right)\ge0$$ signifie que nous cherchons le signe $${\color{red}\text{plus}}$$ dans la dernière ligne du tableau de signe.
Ainsi :

Pour résoudre cette inéquation, il faut tout d'abord faire le tableau signe de l'expression $$\left(2x-6\right)\left(7x-14\right)$$.

D'une part :

$$2x-6=0\Leftrightarrow 2x=6\Leftrightarrow x=\frac{6}{2}=3$$
Soit $$x\mapsto 2x-6$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=2>0$$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $$2x-6$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=3$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)

D'autre part :

$$7x-14=0\Leftrightarrow 7x=14\Leftrightarrow x=\frac{14}{7}=2$$
Soit $$x\mapsto 7x-14$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=7>0$$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $$7x-14$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=2$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)
Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :
Maintenant que nous avons le tableau de signe, nous allons pouvoir résoudre l'inéquation $$\left(2x-6\right)\left(7x-14\right)\le0$$. Il nous faut regarder la dernière ligne du tableau de signe. En effet, $$\left(2x-6\right)\left(7x-14\right)\le0$$ signifie que nous cherchons le signe $${\color{red}\text{moins}}$$ dans la dernière ligne du tableau de signe.
Ainsi :

Pour résoudre cette inéquation, il faut tout d'abord faire le tableau signe de l'expression $$\left(3x-24\right)\left(7x-42\right)$$.

D'une part :

$$3x-24=0\Leftrightarrow 3x=24\Leftrightarrow x=\frac{24}{3}=8$$
Soit $$x\mapsto 3x-24$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=3>0$$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $$3x-24$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=8$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)

D'autre part :

$$7x-42=0\Leftrightarrow 7x=42\Leftrightarrow x=\frac{42}{7}=6$$
Soit $$x\mapsto 7x-42$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=7>0$$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $$7x-42$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=6$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)
Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :
Maintenant que nous avons le tableau de signe, nous allons pouvoir résoudre l'inéquation $$\left(3x-24\right)\left(7x-42\right)\ge0$$. Il nous faut regarder la dernière ligne du tableau de signe. En effet, $$\left(3x-24\right)\left(7x-42\right)\ge0$$ signifie que nous cherchons le signe $${\color{red}\text{plus}}$$ dans la dernière ligne du tableau de signe.
Ainsi :

Pour résoudre cette inéquation, il faut tout d'abord faire le tableau signe de l'expression $$\left(9x-27\right)\left(4x-20\right)$$.

D'une part :

$$9x-27=0\Leftrightarrow 9x=27\Leftrightarrow x=\frac{27}{9}=3$$
Soit $$x\mapsto 9x-27$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=9>0$$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $$9x-27$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=3$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)

D'autre part :

$$4x-20=0\Leftrightarrow 4x=20\Leftrightarrow x=\frac{20}{4}=5$$
Soit $$x\mapsto 4x-20$$ est une fonction affine croissante car son coefficient directeur $$a=4>0$$. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne $$4x-20$$ par le signe $$\left(-\right)$$ et dès que l'on dépasse la valeur $$x=5$$ on mettra le signe $$\left(+\right)$$ dans le tableau de signe.)
Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :
Maintenant que nous avons le tableau de signe, nous allons pouvoir résoudre l'inéquation $$\left(9x-27\right)\left(4x-20\right)<0$$. Il nous faut regarder la dernière ligne du tableau de signe. En effet, $$\left(9x-27\right)\left(4x-20\right)<0$$ signifie que nous cherchons le signe $${\color{red}\text{moins}}$$ dans la dernière ligne du tableau de signe.
Ainsi :