Droites paralléles ou droites sécantes - Exercice 1

Nous savons que les droites $$\left(d\right)$$ et $$\left(d'\right)$$ ont comme équations respectives $$d:y=2x+1$$ et $$d':y=2x-6$$.
On vérifie aisément que les droites ont le même coefficient directeur $$a=2$$ donc les droites $$\left(d\right)$$ et $$\left(d'\right)$$ sont bien parallèles. Elles ne sont donc pas sécantes.

Nous savons que les droites $$\left(d\right)$$ et $$\left(d'\right)$$ ont comme équations respectives $$d:y=3x-4$$ et $$d':y=-4x+17$$.
On vérifie aisément que les droites n'ont pas le même coefficient directeur car le coefficient directeur de la droite $$\left(d\right)$$ vaut $$3$$ alors que celui de la droite $$\left(d'\right)$$ vaut $$-4$$.
Les droites $$\left(d\right)$$ et $$\left(d'\right)$$ ne sont donc pas parallèles. Les droites $$\left(d\right)$$ et $$\left(d'\right)$$ sont alors sécantes.
Il nous faut donc résoudre un système de deux équations à deux inconnues pour déterminer les cordonnées du point d'intersection entre $$\left(d\right)$$ et $$\left(d'\right)$$.
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {y} & {=} & {3x-4} \\ {y} & {=} & {-4x+17} \end{array}\right.$$ . Nous allons remplacer le $$y$$ de la deuxième ligne par la valeur du $$y$$ de la première ligne, ce qui donne :
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {y} & {=} & {3x-4} \\ {3x-4} & {=} & {-4x+17} \end{array}\right.$$ . On obtient ainsi à la deuxième ligne une équation du premier degré que nous allons résoudre.
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {y} & {=} & {3x-4} \\ {3x+4x} & {=} & {17+4} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {y} & {=} & {3x-4} \\ {7x} & {=} & {21} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {y} & {=} & {3x-4} \\ {x} & {=} & {\frac{21}{7}} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {y} & {=} & {3x-4} \\ {x} & {=} & {3} \end{array}\right.$$ . Maintenant que nous avons trouver la valeur de l'abscisse $$x$$ du point d'intersection entre les deux droites, nous remplaçons cette valeur dans la première ligne du système afin d'obtenir l'ordonnée $$y$$.
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {y} & {=} & {3\times3-4} \\ {x} & {=} & {3} \end{array}\right.$$

Les coordonnées du point d'intersection entre les droites $$\left(d\right)$$ et $$\left(d'\right)$$ est le point que l'on note $$I\left(3;5\right)$$

Nous savons que les droites $$\left(d\right)$$ et $$\left(d'\right)$$ ont comme équations respectives $$d:y=-2x-6$$ et $$d':y=5x+22$$.
On vérifie aisément que les droites n'ont pas le même coefficient directeur car le coefficient directeur de la droite $$\left(d\right)$$ vaut $$-2$$ alors que celui de la droite $$\left(d'\right)$$ vaut $$5$$.
Les droites $$\left(d\right)$$ et $$\left(d'\right)$$ ne sont donc pas parallèles. Les droites $$\left(d\right)$$ et $$\left(d'\right)$$ sont alors sécantes.
Il nous faut donc résoudre un système de deux équations à deux inconnues pour déterminer les cordonnées du point d'intersection entre $$\left(d\right)$$ et $$\left(d'\right)$$.
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {y} & {=} & {-2x-6} \\ {y} & {=} & {5x+22} \end{array}\right.$$ . Nous allons remplacer le $$y$$ de la deuxième ligne par la valeur du $$y$$ de la première ligne, ce qui donne :
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {y} & {=} & {-2x-6} \\ {-2x-6} & {=} & {5x+22} \end{array}\right.$$ . On obtient ainsi à la deuxième ligne une équation du premier degré que nous allons résoudre.
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {y} & {=} & {-2x-6} \\ {-2x-5x} & {=} & {22+6} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {y} & {=} & {-2x-6} \\ {-7x} & {=} & {28} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {y} & {=} & {-2x-6} \\ {x} & {=} & {\frac{28}{-7}} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {y} & {=} & {-2x-6} \\ {x} & {=} & {-4} \end{array}\right.$$ . Maintenant que nous avons trouver la valeur de l'abscisse $$x$$ du point d'intersection entre les deux droites, nous remplaçons cette valeur dans la première ligne du système afin d'obtenir l'ordonnée $$y$$.
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {y} & {=} & {-2\times\left(-4\right)-6} \\ {x} & {=} & {-4} \end{array}\right.$$

Les coordonnées du point d'intersection entre les droites $$\left(d\right)$$ et $$\left(d'\right)$$ est le point que l'on note $$I\left(-4;2\right)$$

Nous savons que les droites $$\left(d\right)$$ et $$\left(d'\right)$$ ont comme équations respectives $$d:y=6x+2$$ et $$d':y=-3x-7$$.
On vérifie aisément que les droites n'ont pas le même coefficient directeur car le coefficient directeur de la droite $$\left(d\right)$$ vaut $$6$$ alors que celui de la droite $$\left(d'\right)$$ vaut $$-3$$.
Les droites $$\left(d\right)$$ et $$\left(d'\right)$$ ne sont donc pas parallèles. Les droites $$\left(d\right)$$ et $$\left(d'\right)$$ sont alors sécantes.
Il nous faut donc résoudre un système de deux équations à deux inconnues pour déterminer les cordonnées du point d'intersection entre $$\left(d\right)$$ et $$\left(d'\right)$$.
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {y} & {=} & {6x+2} \\ {y} & {=} & {-3x-7} \end{array}\right.$$ . Nous allons remplacer le $$y$$ de la deuxième ligne par la valeur du $$y$$ de la première ligne, ce qui donne :
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {y} & {=} & {6x+2} \\ {6x+2} & {=} & {-3x-7} \end{array}\right.$$ . On obtient ainsi à la deuxième ligne une équation du premier degré que nous allons résoudre.
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {y} & {=} & {6x+2} \\ {6x+3x} & {=} & {-7-2} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {y} & {=} & {6x+2} \\ {9x} & {=} & {-9} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {y} & {=} & {6x+2} \\ {x} & {=} & {\frac{-9}{9}} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {y} & {=} & {6x+2} \\ {x} & {=} & {-1} \end{array}\right.$$ . Maintenant que nous avons trouver la valeur de l'abscisse $$x$$ du point d'intersection entre les deux droites, nous remplaçons cette valeur dans la première ligne du système afin d'obtenir l'ordonnée $$y$$.
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {y} & {=} & {6\times\left(-1\right)+2} \\ {x} & {=} & {-1} \end{array}\right.$$

Les coordonnées du point d'intersection entre les droites $$\left(d\right)$$ et $$\left(d'\right)$$ est le point que l'on note $$I\left(-1;-4\right)$$

Nous savons que les droites $$\left(d\right)$$ et $$\left(d'\right)$$ ont comme équations respectives $$d:y=3x-1$$ et $$d':y=8$$.
On vérifie aisément que les droites n'ont pas le même coefficient directeur car le coefficient directeur de la droite $$\left(d\right)$$ vaut $$3$$ alors que celui de la droite $$\left(d'\right)$$ vaut $$0$$.
Les droites $$\left(d\right)$$ et $$\left(d'\right)$$ ne sont donc pas parallèles. Les droites $$\left(d\right)$$ et $$\left(d'\right)$$ sont alors sécantes.
Il nous faut donc résoudre un système de deux équations à deux inconnues pour déterminer les cordonnées du point d'intersection entre $$\left(d\right)$$ et $$\left(d'\right)$$.
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {y} & {=} & {3x-1} \\ {y} & {=} & {8} \end{array}\right.$$ . Nous allons remplacer le $$y$$ de la deuxième ligne par la valeur du $$y$$ de la première ligne, ce qui donne :
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {y} & {=} & {3x-1} \\ {3x-1} & {=} & {8} \end{array}\right.$$ . On obtient ainsi à la deuxième ligne une équation du premier degré que nous allons résoudre.
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {y} & {=} & {3x-1} \\ {3x} & {=} & {8+1} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {y} & {=} & {3x-1} \\ {3x} & {=} & {9} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {y} & {=} & {3x-1} \\ {x} & {=} & {\frac{9}{3}} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {y} & {=} & {3x-1} \\ {x} & {=} & {3} \end{array}\right.$$ . Maintenant que nous avons trouver la valeur de l'abscisse $$x$$ du point d'intersection entre les deux droites, nous remplaçons cette valeur dans la première ligne du système afin d'obtenir l'ordonnée $$y$$.
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {y} & {=} & {3\times3-1} \\ {x} & {=} & {3} \end{array}\right.$$

Les coordonnées du point d'intersection entre les droites $$\left(d\right)$$ et $$\left(d'\right)$$ est le point que l'on note $$I\left(3;8\right)$$