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Comment déterminer une équation de droite ou l'expression affine d'une fonction - Exercice 4

20 min
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Trouver la fonction affine ff dont la représentation graphique passe par les points AA et BB donnés.
Question 1

A(1;5)A\left(1;5\right) et B(3;9)B\left(3;9\right).

Correction
La droite (AB)\left(AB\right) d'équation y=ax+by=ax+b représente la fonction affine définie par, pour tout réel xx, f(x)=ax+bf\left(x\right)=ax+b.
1ère étape : Calcul du coefficient directeur aa.
a=yB−yAxB−xAa=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}
a=9−53−1a=\frac{9-5}{3-1 }
a=42a=\frac{4}{2}
a=2a=2

Ainsi : f(x)=2x+bf\left(x\right)=2x+b
2ème étape : Calcul de l'ordonnée à l'origine bb.
Nous savons que le point A(1;5)A\left(1;5\right) appartient à la droite recherchée. Cela signifie donc que f(xA)=xA+bf\left(x_{A}\right)=x_{A}+b ou encore yA=xA+by_{A}=x_{A}+b.
Il vient alors que :
5=2×1+b5=2\times 1 +b équivaut successivement à :
2+b=52+b=5
b=5−2b=5-2
b=3b=3

Finalement, l'expression de la droite (AB)\left(AB\right) est :
y=2x+3y=2x+3
Question 2

A(2;7)A\left(2;7\right) et B(3;11)B\left(3;11\right).

Correction
La droite (AB)\left(AB\right) d'équation y=ax+by=ax+b représente la fonction affine définie par, pour tout réel xx, f(x)=ax+bf\left(x\right)=ax+b.
1ère étape : Calcul du coefficient directeur aa.
a=yB−yAxB−xAa=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}
a=11−73−2a=\frac{11-7}{3-2}
a=41a=\frac{4}{1}
a=4a=4

Ainsi : f(x)=4x+bf\left(x\right)=4x+b
2ème étape : Calcul de l'ordonnée à l'origine bb.
Nous savons que le point A(2;7)A\left(2;7\right) appartient à la droite recherchée. Cela signifie donc que f(xA)=4xA+bf\left(x_{A}\right)=4x_{A}+b ou encore yA=4xA+by_{A}=4x_{A}+b.
Il vient alors que :
7=4×2+b7=4\times2+b équivaut successivement à :
8+b=78+b=7
b=7−8b=7-8
b=−1b=-1

Finalement, l'expression de la droite (AB)\left(AB\right) est :
y=4x−1y=4x-1
Question 3

A(3;−5)A\left(3;-5\right) et B(−5;19)B\left(-5;19\right).

Correction
La droite (AB)\left(AB\right) d'équation y=ax+by=ax+b représente la fonction affine définie par, pour tout réel xx, f(x)=ax+bf\left(x\right)=ax+b.
1ère étape : Calcul du coefficient directeur aa.
a=yB−yAxB−xAa=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}
a=19−(−5)−5−3a=\frac{19-(-5)}{-5-3 }
a=19+5−8a=\frac{19+5}{-8}
a=24−8a=\frac{24}{-8}
a=−3a=-3

Ainsi : f(x)=−3x+bf\left(x\right)=-3x+b
2ème étape : Calcul de l'ordonnée à l'origine bb.
Nous savons que le point A(3;−5)A\left(3;-5\right) appartient à la droite recherchée. Cela signifie donc que f(xA)=−3xA+bf\left(x_{A}\right)=-3x_{A}+b ou encore yA=−3xA+by_{A}=-3x_{A}+b.
Il vient alors que :
−5=−3×3+b-5=-3\times3+b équivaut successivement à :
−3×3+b=−5-3\times3+b=-5
−9+b=−5-9+b=-5
b=−5+9b=-5+9
b=4b=4

Finalement, l'expression de la droite (AB)\left(AB\right) est :
y=−3x+4y=-3x+4
Question 4

A(3;8)A\left(3;8\right) et B(4;13)B\left(4;13\right).

Correction
La droite (AB)\left(AB\right) d'équation y=ax+by=ax+b représente la fonction affine définie par, pour tout réel xx, f(x)=ax+bf\left(x\right)=ax+b.
1ère étape : Calcul du coefficient directeur aa.
a=yB−yAxB−xAa=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}
a=13−84−3a=\frac{13-8}{4-3 }
a=51a=\frac{5}{1}
a=5a=5

Ainsi : f(x)=5x+bf\left(x\right)=5x+b
2ème étape : Calcul de l'ordonnée à l'origine bb.
Nous savons que le point A(3;8)A\left(3;8\right) appartient à la droite recherchée. Cela signifie donc que f(xA)=5xA+bf\left(x_{A}\right)=5x_{A}+b ou encore yA=5xA+by_{A}=5x_{A}+b.
Il vient alors que :
8=5×3+b8=5\times3+b équivaut successivement à :
5×3+b=85\times3+b=8
15+b=815+b=8
b=8−15b=8-15
b=−7b=-7

Finalement, l'expression de la droite (AB)\left(AB\right) est :
y=5x−7y=5x-7
Question 5

A(−1;8)A\left(-1;8\right) et B(2;−10)B\left(2;-10\right).

Correction
La droite (AB)\left(AB\right) d'équation y=ax+by=ax+b représente la fonction affine définie par, pour tout réel xx, f(x)=ax+bf\left(x\right)=ax+b.
1ère étape : Calcul du coefficient directeur aa.
a=yB−yAxB−xAa=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}
a=−10−82−(−1)a=\frac{-10-8}{2-(-1) }
a=−182+1a=\frac{-18}{2+1}
a=−183a=\frac{-18}{3}
a=−6a=-6

Ainsi : f(x)=−6x+bf\left(x\right)=-6x+b
2ème étape : Calcul de l'ordonnée à l'origine bb.
Nous savons que le point B(2;−10)B\left(2;-10\right) appartient à la droite recherchée. Cela signifie donc que f(xB)=−6xB+bf\left(x_{B}\right)=-6x_{B}+b ou encore yB=−6xB+by_{B}=-6x_{B}+b.
Il vient alors que :
−10=−6×2+b-10=-6\times2+b équivaut successivement à :
−6×2+b=−10-6\times2+b=-10
−12+b=−10-12+b=-10
b=−10+12b=-10+12
b=2b=2

Finalement, l'expression de la droite (AB)\left(AB\right) est :
y=−6x+2y=-6x+2
Question 6

A(1;4)A\left(1;4\right) et B(2;−1)B\left(2;-1\right).

Correction
La droite (AB)\left(AB\right) d'équation y=ax+by=ax+b représente la fonction affine définie par, pour tout réel xx, f(x)=ax+bf\left(x\right)=ax+b.
1ère étape : Calcul du coefficient directeur aa.
a=yB−yAxB−xAa=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}
a=−1−42−1a=\frac{-1-4}{2-1 }
a=−51a=\frac{-5}{1}
a=−5a=-5

Ainsi : f(x)=−5x+bf\left(x\right)=-5x+b
2ème étape : Calcul de l'ordonnée à l'origine bb.
Nous savons que le point B(2;−1)B\left(2;-1\right) appartient à la droite recherchée. Cela signifie donc que f(xB)=−5xB+bf\left(x_{B}\right)=-5x_{B}+b ou encore yB=−5xB+by_{B}=-5x_{B}+b.
Il vient alors que :
−1=−5×2+b-1=-5\times2+b équivaut successivement à :
−5×2+b=−1-5\times2+b=-1
−10+b=−1-10+b=-1
b=−1+10b=-1+10
b=9b=9

Finalement, l'expression de la droite (AB)\left(AB\right) est :
y=−5x+9y=-5x+9

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